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zoom RSS 3次元の場合[曲率テンソル](1)

<<   作成日時 : 2013/10/29 00:01   >>

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3次元 Riemann 多様体の場合、独立な成分が幾つあるか?ということから考えたいと思います。

添字4文字の組み合わせ表を作り、R の絶対値が同じものを色分けしてみた。
画像

灰色の組み合わせはゼロを示しているので、独立なものは6個のみということになる。代表として、
  
 をとることができる。

リッチテンソル Rik の添字も3次元の場合、
画像

のように独立なものは6個である。
したがって、 から、 のすべての成分は と計量テンソル とから表されるはずである。

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定まった点において、直交座標を適当に選ぶことにより(すなわちテンソルの主軸と一致させることにより)行列 を対角化することができる。
  
この意味で、一点における曲率テンソルは3個の独立な量で決まることになる。
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Riemann 計量が極座標により
   
与えられる3次元空間を考える。ここでλは r の関数とする。
この球対称空間のスカラー曲率 R が零となるのは eλ がどのようなときか調べる。
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計量テンソルは、
   
なので、 とすると、
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
となる。ゼロでないものをまとめると、
    
   
   

さて、スカラー曲率を考えると、ゼロでない gik を取り上げると、
   
なので、 のみを求めればいいことが分かる。

 
 
 
 
 

 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 

文字数制限に引っかかったので、今日はこの辺で。。


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