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zoom RSS 2次元の場合[曲率テンソル]

<<   作成日時 : 2013/10/28 00:01   >>

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2次元の場合は、すでに見たように、唯一の独立な成分として R1212 を採ることが出来るので、それで話を進めてみます。

  なので 2階のテンソル  を考えると、
   
   
   

これから、混合成分 は、
  
  
  
  
  

また、 は、
   
  
  

つまり、 で、もう少しまとめると
  
となる。

一般に、2次元 Riemann 多様体の Gauss 曲率 は、これをスカラー曲率の半分として定義することができる:
   


「測地座標系(1)」で扱った放物面
   
 を例に考えてみる。
            
 であり、
   
    
 で、原点においては、 なので、原点では
   
 である。つまり Gauss 曲率 を表していることが分かる。


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