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zoom RSS 曲率テンソル(4)

<<   作成日時 : 2013/10/24 00:01   >>

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今回はやっと曲率テンソルの対称性について考えることが出来ます。

前記事の結果を書いておきます。
 

この式において、ik と lm を入れ替えてみましょう。
 
 
 

したがって、 

また、 から、
また定義式から、
 
 
 

したがって、 

さらに、 から 

したがって、

・ まとめると、
     
     
     
   
さて、 から、 なら
    
同様に、 から、
    
なので、2次元なら
画像

のように、 のみが有効なものとなる。
また より、 で、 から、
さらに から、 となる。つまり、
    
と成り、独立な成分は だけとなる。


ここで、4階の曲率テンソルを次のように縮約することにより、2階のテンソルを作ることができる:
            
注)-------------------------------------------
実は上式の中から最右辺の変形が当り前のようですが、手順に従うとちょっと変な気がします。
 
と k と i が逆になるような気がします。
 
ということだろうか?
----------------------------------------------     
また、 なので、両辺に を掛けると、
  
と上の注を気にしなくても良いのかも知れません。

この リッチ曲率テンソル (Ricci curvature tensor) を具体的に書き下すと、
   
       
    となりますが、 という条件が成立するのか?疑問です。
    これについてはEMANさんのページが詳しいです。

をさらに縮約するとスカラーになる:
   
スカラー曲率(scalar curvature)と呼ばれる。

今日はこの辺で。。


   

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