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zoom RSS 曲率テンソル(2)

<<   作成日時 : 2013/10/22 00:01   >>

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「曲率」テンソルというので、空間の曲がりと関係ある訳で、今回はそういう部分を勉強します。

・ Euclid 空間のような平坦な空間では、適当な座標系で到るところで とすることが可能。
  → この座標系では
はテンソル。→ この性質は座標系によらない。→ 平坦な空間では

逆に“ ならば空間は平坦である”と言えるか?。

 ・ 面内で一つのベクトル を起点 から終点 まで平行に移す操作を考える。
 ・ を経て終点に至る場合と、
 ・ を経て終点に至る場合との差を考える。

を経て終点に至る場合
 ・
      但し、 は原点における値を意味する。 
 ・
   ( に伴って、 となることに留意して)
    
    
    

を経て終点に至る場合。添字 1 と 2 を入れ替えて、
    

・ 差を考えると、
    
   

・ 一般に、 の全成分が0ならば、ベクトルを一点から他の点に平行に移動させるとき結果が道筋によらない。
 → ならば空間はこの意味で平坦である。

今日はこの辺で。。


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