# T_NAKAの阿房ブログ

## 共変微分（３）

<<   作成日時 ： 2013/10/18 00:01   >>

 今回は計量テンソルの共変微分を考えることと、練習問題をやってみたいと思います。 ・ $g_{ik:l}$ を考える。 ・ 前記事の結果より、 　　　　$g_{ik:l}=\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-g_{mk}\Gamma_{il}^{m}-g_{im}\Gamma_{kl}^{m}$ 　　　　$=\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-g_{mk}\left&space;[\frac{1}{2}g^{mp}\left(\frac{\partial&space;g_{ip}}{\partial&space;x^{l}}+\frac{\partial&space;g_{pl}}{\partial&space;x^{i}}-\frac{\partial&space;g_{il}}{\partial&space;x^{p}}&space;\right&space;)&space;\right&space;]-g_{im}\left&space;[\frac{1}{2}g^{mp}\left(\frac{\partial&space;g_{kp}}{\partial&space;x^{l}}+\frac{\partial&space;g_{pl}}{\partial&space;x^{k}}-\frac{\partial&space;g_{kl}}{\partial&space;x^{p}}&space;\right&space;)&space;\right&space;]$ 　　　　$=\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{1}{2}g_{k}^{p}\left(\frac{\partial&space;g_{ip}}{\partial&space;x^{l}}+\frac{\partial&space;g_{pl}}{\partial&space;x^{i}}-\frac{\partial&space;g_{il}}{\partial&space;x^{p}}&space;\right&space;)-\frac{1}{2}g_{i}^{p}\left(\frac{\partial&space;g_{kp}}{\partial&space;x^{l}}+\frac{\partial&space;g_{pl}}{\partial&space;x^{k}}-\frac{\partial&space;g_{kl}}{\partial&space;x^{p}}&space;\right&space;)$ 　　　　$=\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}+\frac{\partial&space;g_{kl}}{\partial&space;x^{i}}-\frac{\partial&space;g_{il}}{\partial&space;x^{k}}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial&space;g_{ki}}{\partial&space;x^{l}}+\frac{\partial&space;g_{il}}{\partial&space;x^{k}}-\frac{\partial&space;g_{kl}}{\partial&space;x^{i}}&space;\right&space;)$　 　　　　$=\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{1}{2}\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{1}{2}\frac{\partial&space;g_{kl}}{\partial&space;x^{i}}+\frac{1}{2}\frac{\partial&space;g_{il}}{\partial&space;x^{k}}-\frac{1}{2}\frac{\partial&space;g_{ik}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{1}{2}\frac{\partial&space;g_{il}}{\partial&space;x^{k}}+\frac{1}{2}\frac{\partial&space;g_{kl}}{\partial&space;x^{i}}=&space;0$ 結果、$g_{ik:l}=0$ となる。 ・ つまり、$g_{ik}$ は共変微分に対しては定数のように振舞う。 問題-------------------------------------------- 　　　　$\frac{\partial&space;A^{i}}{\partial&space;x^{l}}+\Gamma_{kl}^{i}A^{k}$ が２階混合テンソルであることを示せ。 ------------------------------------------------ まず、 　　　${A}'^{i}=\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}A^{k}$ これをさらに ${x}'^{l}$ で微分すると、 　　　$\frac{\partial&space;{A}'^{i}}{\partial&space;{x}'^{l}}=\frac{\partial^{2}&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{m}\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}A^{k}+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}$ ここで「測地座標系（２）」で求めた公式 　　　$\frac{\partial^{2}&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{m}\partial&space;x^{k}}=\Gamma_{mk}^{a}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{a}}-{\Gamma}'^{i}_{bc}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{b}}{\partial&space;x^{m}}\frac{\partial{x}'^{c}}{\partial&space;x^{k}}$ を前式の右辺の第１項に代入すると、 　　　$\frac{\partial&space;{A}'^{i}}{\partial&space;{x}'^{l}}=\left&space;(&space;\Gamma_{mk}^{a}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{a}}-{\Gamma}'^{i}_{bc}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{b}}{\partial&space;x^{m}}\frac{\partial{x}'^{c}}{\partial&space;x^{k}}&space;\right&space;)\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}A^{k}+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}$ 　　　$=\Gamma_{mk}^{a}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{a}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}A^{k}-{\Gamma}'^{i}_{bc}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{b}}{\partial&space;x^{m}}\frac{\partial{x}'^{c}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}A^{k}+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}$ 　　　$=\Gamma_{ma}^{k}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}A^{a}&space;-{\Gamma}'^{i}_{bc}\:&space;\delta&space;_{l}^{b}\frac{\partial{x}'^{c}}{\partial&space;x^{k}}A^{k}&space;+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}$ 　　　$=\Gamma_{ma}^{k}\:&space;\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}A^{a}&space;-{\Gamma}'^{i}_{lc}\:\frac{\partial{x}'^{c}}{\partial&space;x^{k}}A^{k}&space;+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}$ 　　　$=\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\Gamma_{ma}^{k}\:&space;A^{a}&space;-{\Gamma}'^{i}_{lc}\:{A}'^{c}&space;+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}$ 　　　$=-{\Gamma}'^{i}_{lc}\:{A}'^{c}+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\Gamma_{ma}^{k}\:&space;A^{a}$ 　　　$=-{\Gamma}'^{i}_{lc}\:{A}'^{c}&space;+\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\left&space;(\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}+\Gamma_{ma}^{k}\:&space;A^{a}\right)$ なので、 　　　　$\frac{\partial&space;{A}'^{i}}{\partial&space;{x}'^{l}}+{\Gamma}'^{i}_{lc}\:{A}'^{c}=\frac{\partial&space;{x}'^{i}}{\partial&space;x^{k}}\frac{\partial&space;x^{m}}{\partial&space;{x}'^{l}}\left&space;(\frac{\partial&space;A^{k}}{\partial&space;x^{m}}+\Gamma_{ma}^{k}\:&space;A^{a}\right)$ となり、２階混合テンソルの変換性を示すことが分かる。

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