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zoom RSS Riemann 計量(1)

<<   作成日時 : 2013/10/02 00:01   >>

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今回から「Riemann 多様体」を勉強することにします。今まで「微分幾何」と「滑らかな多様体」というのを勉強してきましたが、これらはこの「Riemann 多様体」への準備という位置付けでした。一般相対論を学ぶ際に少々齧っているのですが、少し数学的に勉強してみようという企画です。まず、Riemann 計量から入っていきましょう。

・3次元 Euclid 空間の中の滑らかな曲面上の点は、2個のパラメータ を用いて で表される。

・点 からこれに近い点 へ引いたベクトル は全微分

     

 で与えられる。

が一点 において真に2次元的な曲面を表すためには、 とがその点で一次独立でなければならない。

とが一次独立でない点があれば、このような点を取り除いた"開集合"が"座標近傍"に他ならない。

・ この座標近傍で、 の長さ は次の第1基本形式で表される:

   

・ これは高い次元の Euclid 空間の中の滑らかな n 次元多様体へと一般化できる。
  この多様体の一つの座標近傍における局所座標が であるとする。点 からこれに近い点 へ引いたベクトルの長さ は明らかに

   

  の形で与えられる。

・ これが曲面の第1基本形式の一般化に他ならず、 の関数である。


) 4次元 Euclid 空間における3次元球面 --------------------------------------

  を直交座標とする Euclid 空間で、

   

 は半径 の3次元球面を表す。
 "4次元極座標"

    
    
    
    

 で定義すれば、 を一定として、 を局所座標に選ぶことができる。

   

を計算すると、

   

 から、

   
    

   
    

 なので、

    


 また、

    

 から、

    

 なので、

    

 つまり、

    

 が得られる。次にこの3次元球面の"体積" を求めることを考える。
  軸と 軸と 軸とが互いに直交することに注目して、  との積を
 全体にわたって積分したものが に等しい:

 

 

----------------------------------------------------------------------------------------

・ Euclid 空間における曲面については、基本量 は、この例のように、Euclid 計量から誘導される。


ということなんですが、必ずしも Euclid 空間に埋め込まれた多様体というように考えなくても良いのでは?という思想もあります。
実は、これが Riemann 多様体の考え方なのですが、これについては後記事で勉強していきたいと思います。
今日は、この辺で。。

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