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zoom RSS 共変微分(2)

<<   作成日時 : 2013/10/17 00:01   >>

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前記事では反変ベクトルの共変微分を求めましたが、共変ベクトルの共変微分も考えてみましょう。
反変ベクトルとか共変ベクトルとか言っても、同じベクトルを反変成分で表すか、共変成分で表すか、ですから共変微分は共変ベクトルでも定義できる訳です。

その前にスカラー の共変微分商ですが、それは通常の導関数 と同じものとなります。このことは、スカラーは“平行移動”で値を変えない というのと同じことになります。

とを任意の共変ベクトルと反変ベクトルとする。

はスカラーなので、


  
   は任意なので、 が成立。

・ 一方、

    が成立。


まとめると、

    


次に、2階反変テンソル の共変微分商を求めることを考えましょう。

・ 任意のベクトル で作ったスカラー を考える。
  つまり、
   
・ これから、
   
   
   
は任意のベクトルなので、
   
・ 共変微分を考えると、
   
  
・ 共変微分商は

   


次に反変ベクトルの積 の共変微分について考えます。
これは というテンソルの共変微分について計算することと同じなので、上式から、
    
    
    

という訳で、

    

と、通常の微分法と同じ法則が成立します。

さて、2階混合テンソルと2階共変テンソルについても同様に求められます。
結果をまとめて書いておきましょう。

   
   
   

また、

    
    
    

も成立します。

今日はこの辺で。。


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