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zoom RSS 共変微分(1)

<<   作成日時 : 2013/10/16 00:01   >>

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この話題もDirac「一般相対性理論」を読む_(9)辺りで初めてこのブログで話題にしていますが、もう一度復習です。

・ 1つのベクトル場 を考え、位置 における値を とおき、 における値を とおく:
    

とは異なる位置におけるベクトルであるからその差 は一般にベクトルではない。
--------------------------
この「一般にベクトルではない」というのは、「ベクトルとして演算されていない」ということでしょうか。
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・ 言い換えれば、係数 は一般にテンソルにはならない。
--------------------------
ベクトル に対し、 とすると、 なので、


というように、ベクトルに作用してベクトルにするものはテンソルになります。
つまり、 は一般にベクトルではないので、係数 は一般にテンソルにはならないということになります。
--------------------------

におけるベクトル まで“平行移動”したものを とおく。

は同じ点における2個のベクトルの差であるから、それ自身ベクトルとなる。

・ 言い換えると
            
  と置くとき、その両辺がベクトル、したがって がテンソルとなる。
  右辺を共変微分と呼ぶ。

はベクトル と変位 との両方に比例するはずだから、

      

  と置くことができる。

この座標の関数 が Christoffel の記号に一致する。
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測地線の式
    

    
から
     
と書き換えられる。ここで、 は接線方向の単位ベクトル。
測地線上の接線ベクトルは、 から へと移動するとき、 から へと変化することをこの式は表している。
一方、“測地線に沿って接線ベクトルは平行に移動する”ことが成り立つように平行移動を定義しておけば
    
であり、これを と比べて を得る。
--------------------------------------------------------------------

・ つまり、

  

   から、共変微分の係数は

  

   の形に表される。これを、共変微分商または共変導テンソル(covariant derivative)という。


今日はこの辺で。。

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