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zoom RSS 測地座標系(2)

<<   作成日時 : 2013/10/15 00:01   >>

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クリストッフェル記号はテンソルではない。でも取り上げていますが、もう一度この確認を行なってから、測地座標系の一般形を調べることにします。

・ Christoffel 記号 はテンソルではない。
  → なぜならば、ある座標系で全成分がゼロとなることからテンソルとしてゼロになる結果となるから。

・ Christoffel 記号の変換公式を求めることにする。

・ まず、計量テンソルの変換を考える。 
    

・ 両辺を で微分する。
    

・ 両辺を で微分する。
  

を入れ替える@
  

・  を入れ替えるA
  

・ 添字を揃えて並べてみる。
  
  
  

・ これらから次の式を作る。


・ 辺々に次の式を掛ける。
    
    (これは、 から求めた。)

・ 左辺
   

・ 右辺
 
 
 
 
  
・ 左辺=右辺 より
    
  あるいは
    
  という公式が得られた。


・ 測地線座標系を作る。
・ 原点を中心に考えて、 における の値を とおく。

・ この点の近くで、座標変換
       
  を作る。
 したがって、
       
 より、
       

・ この結果を変換公式に代入する。
      
   つまり、
      
   から、
      

・ つまり、座標変換
       
  で、 が原点ですべてゼロになることがわかる。


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