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zoom RSS 測地線(3)

<<   作成日時 : 2013/10/11 00:01   >>

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もう一つの例を考えます。これは太陽のわきを通った光が曲がるという Einstein 効果(重力レンズ効果と言って良いのか?)を計算する際に応用できるようです。


例2 前記事の例を一般化して Riemann 計量

   

である場合を考える。
--------
注) この記事では、 は“ネピア数”を示し、 は“離心率”を示しています。
--------
ここで、

      

とする。
--------
つまり  となるように、 を選ぶということ。  
-------- 
そうすると、

   
    

なので、

   

ただし、
よって、測地線方程式は

   
   

となる。全体に を掛けると、

   
    

つまり、一定定数を として

   

ということになる。
ここで、前記事で計算した結果を引用すると、

  

なので、これらを計量から求めた

  

に代入すると、

  

なので、

  

となる。
多少、天下り的ではあるが、この測地線は双曲線

  ,     

になるとのことである。これから、

     
  
     

また、

   

から、

   

である。この式が成立するためには、

   

である必要がある。そこで、この2式を使って変形していくと、

   

から、

   

を得る。 としてこれらの双曲線を下図にしめす。

画像





 

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