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zoom RSS 測地線(2)

<<   作成日時 : 2013/10/10 00:01   >>

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今回は測地線の例を一つ上げて勉強したいと思います。

例1 Euclid 平面内の極座標 を採用し、 を取り扱う。

に選ぶと

  
  

ということになる。求める Christoffel 記号は を使えば、

 

の6個ということになる。ゼロでない反変計量テンソルの成分は のみなので、

 
 

となり、これを使って

 
 
 

 
 
 

で、ゼロでない Christoffel 記号は2つだけとなる。
から が求まり、書き下すと

 

また、 から が求まり、書き下すと

 

となる。(ii)式に r2 を掛けると、

 

となり、左辺は と書ける。つまり で、一定定数を とおくと、

 


となる。(i)式はこのままでは使い難いので、 を ds2 で割って、

 

とする。
ここで多少天下り的だが、1/r を微分してみる。

 

から、

 

なので、(iia)式を上式に代入すると、

 

となる。(iia)式と(iv)式を(iii)式に代入すると、

 

となり、全体を r02 で割ると、

 

となる。 が大きくなると、 も大きくなると考えると、符号はマイナス側をとり、

 

という変数分離が出来て、積分定数を調整して、 とすると、

 

で与えられ、極座標における直線の方程式に一致することになる。

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