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zoom RSS 測地線(1)

<<   作成日時 : 2013/10/09 00:01   >>

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この話題は当ブログでも何回もやっているような気がしますが、おさらいということで虚心坦懐に考えていきます。

・ 2点を結ぶ最短曲線

    Euclid 空間では直線。→ Riemann 多様体上での局所的空間では測地線(geodesic)。
                (測地線は直線の一般化)

・ 2点 を通る最短曲線は、この曲線に沿って長さの要素 を積分したもの

     

  が極小になるという条件で与えられる。

・ この条件を上式の変分が0になる条件と呼び、次の記号で表す。

     
・ この意味するところは、 を結ぶ曲線の形を僅かに変えたとき、 の変化は高次の微小量となるということ。つまり、弧長を として と書くとき、 に置き換えても積分値は の1乗の範囲では変わらないという意味。

画像


・ Riemann 計量 から、

  


 一方、最左辺は なので、

 

つまり、

 

で、条件 から、

 

両端 であることを考えると、上式の第2項は、

 

 
なので、添字を揃えて元の条件式に戻すと、

 

となる。ここで、 とおくと、

 

となる。 これが任意の で成立するためには [ ] の中がゼロにならなければならない。つまり、符号を変えて

 

が成立することが条件となる。左辺を計算すると、

 

 
 


なので、

 

となる。ここで、 を掛けると、

 

 

となるので、

 

となる。さらに、Christoffel の3指数記号

 

を使えば、測地線の方程式として

 

すなわち

 

となる。
なお、クリストッフェル記号はテンソルではない。

今日はこの辺で。。

  

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