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zoom RSS 一様加速上昇するエレベータの横壁孔から入ってきた光線は放物線を描いて曲がるのか?

<<   作成日時 : 2013/07/08 00:01   >>

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無重力空間を一様加速上昇するエレベータを考えます。ここで「上昇」というのは言葉の綾で、直進加速しているということで、その進行方向を「上」と表現しています。よく啓蒙本では、この「エレベータの横壁孔から入ってきた光線は放物線を描いて曲がる」という説明が為されています。これは本当か?という検討をしたいと思います。同じ内容を計量から計算したエレベータ内の光の軌跡でやっていますが、もう一度考えることにしました。

どういうことか?ということを図示すると次のようになります。

画像


実際には、加速上昇しているエレベータは進行方向にローレンツ収縮しているので、左の図では縮んでいないといけないのです。まあ、概念図なのでご容赦願います。


右図の立場での計量を書いておきましょう。



これの導出の概要は「非慣性系座標の考察_(2)」に示してあります。
なお、特殊相対論における2台の宇宙船のパラドックスの(6)式に c を明示的に示した計量が書いてあります(ただし、加速の方向が異なることに注意願います)。

ここでは、光線が平面内にあるとすると、 とすることができ、光跡は なので、



となるでしょう。今求めようとしているのは平面内の光跡の図形を求めることなので、出来れば時間を表すで表したいところです。これには、 における光跡の 成分と 成分との関係を求めれば良いでしょう。つまり、



なので、元の式は



となりますが、



という変数変換を施すと、



という微分方程式になりました。
積分



なので、



と解けます。 のとき から なので、 です。つまり、



から、





で、最終的に



となりました。これだと、以前に求めたものと何も変わりませんね。。
符号もマイナスにならないと光線は下方に曲がらないので、何か変です。
実は x 成分と t 成分を単純に比例させてよいか?疑問があるんです。
これは再考した方が良いと思いますので、もう一度後で考えることにします。。


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コメント(4件)

内 容 ニックネーム/日時
おひさしぶりです。

もちろん cdt=dx は一般に成り立たないですね。リンドラー座標においては、光は正確に円弧を描いて運動します。
あもん
2013/07/09 12:06
あもんさん、コメントありがとうございます。
g_00 が場所の関数になっているので、「cdt=dx は一般に成り立たない」というのは分かっていたのですが、近似的には成り立つだろうと思ってこんな記事になってしまいました。まあ、ニュートン力学と相対論の折衷みたいな内容なんですね。もう少し考えてみます。
T_NAKA
2013/07/09 14:22
私の「特殊相対論」のノートに「リンドラー座標における粒子の運動」を追加しましたので、よかったら参照ください。
http://www1.ocn.ne.jp/~amonphys/
あもん
2013/07/09 19:44
なるほど、変数が3つ以上だと測地線方程式を使わないといけないんですね。考えれば当り前のことでした。また別記事を書いてみます。
T_NAKA
2013/07/09 20:46

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