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zoom RSS 一様加速の記事を再掲

<<   作成日時 : 2013/05/27 00:01   >>

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「また加速度運動_(1)」という記事をもう一度書き直してみます。参照文献がリンク切れなので、丁度良いと思います。

まず、ミンココフスキー空間で運動する観測者の固有時τを考えます。



ここで、、その他の なので、



ですから、



です。さらに4元速度を、



と定義すると、 から



が言えます。( に注意)


さて上式をτで微分すると、



ですが、



とすると、



となり、左辺は





なので、結局



ということになります。

さて、この観測者がある瞬間に の4元速度を持ったとしましょう。
この瞬間に同じ の速度で動いている慣性系を局所慣性系とします。
この局所慣性系では、この瞬間の の要素は です。
ここで  の関係を使うと、この局所慣性系での4元加速度の要素は ということになります。
ここで、 は局所慣性系で測定された3元加速度( )です。
さらに、ローレンツ不変量  はどんな系でも成り立つものです。


これで、等加速度運動を検討できる関係式が揃いました。つまり、



です。ここで、3元加速度を とします。 方向しか加速しないということにしましょう。
こうして、軸のみで議論をします。(μ,ν=0,1 ということにして簡略化する訳です。)
そうすると、上の式は



となりますが、  に注意すると、



です。
が増加すると も増加、つまり  という条件で第一式から、



となりますが、これをτで微分すると



なので、



です。これを  に代入すると



であり、加速はの正方向なので、 であるから、



という微分方程式が出てきました。変数分離すると、



なので、



と解くことができます。ここで、 という初期条件を入れると、



で、 から



となりました。座標表示に直すと



です。
さて、この軌跡が  のとき  となるとすると、 でこの点を通るので、



という結果が求まりました。

初期条件を  とすれば非常に簡単になって



で、 という双曲線になります。

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