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zoom RSS ローレンツ変換と共変・反変ベクトル(2)

<<   作成日時 : 2013/02/07 00:01   >>

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まず、(いまさらですが)「アインシュタインの規約」を説明してから内積の表現を示し、計量テンソルに触れることとします。(「テンソルって何?」という疑問が出てくるかも知れませんが、そこまではここでは扱いません。)

前記事の結果から内積は



と表現されます。
このΣが煩わしいので、
「上下(添え字)に同じ文字が現われた場合には、それについて和をとる」
というアインシュタインの規約に従うと



と表現されることになります。
「和をとる」というのがあまり明確ではないのですが、慣習的には

 上下添え字がμやνのようなギリシア文字の場合:0,1,2,3 の和、つまり Σ 3μ=0
 上下添え字が i や j のような英文字の場合:1,2,3 の和、つまり Σ3i=1

としているようですね。


さらに、前記事の内容をおさらいすると、ローレンツ変換前後で



と不変になりますが、



のように上付添え字同士(下付添え字同士)の積を積み上げても不変となりません。
(上下添え字に同じ文字が現われた場合に当たりませんので、アインシュタインの規約が使えないことに注意願います。)

この点が相対論の計算で重要な点です。ここを掘り下げてみることにしましょう。
まず、ベクトルの反変成分に対するローレンツ変換を



と表すことにします。
さて、gμν (μ,ν=0,1,2,3) を導入して、



と書くことを考えます。この場合、



μ≠ν のとき、gμν = 0 、つまり4×4行列で表すと、



となり、



から、A や B の共変成分はその反変成分より 



のように、得ることができます。
この gμν計量テンソルと呼ばれています。


この逆で、共変成分から反変成分を求めたい場合もあります。
この場合は4×4行列 [gμν] (= [gμν]-1)



を使って、内積を を書くことができ、



となります。(ミンコフスキー空間の場合、数値的には [gμν] = [gμν] ですが、一般的には異なります。)

このようにして、添え字の上げ下げが可能です。

今日はこの辺で。。


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