T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS ローレンツ変換と共変・反変ベクトル(1)

<<   作成日時 : 2013/02/06 00:01   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

これは何回も記事にしているのですが、『場の量子論―摂動計算の基礎』(日置善郎著・吉岡書店)の付録に同じ話題があったので、また考えてみたいと思います。「何に対して共変・反変なのか?」「基底ベクトルは共変ベクトルなのか?反変ベクトルなのか?」なんていう質問があってその都度答えている積りなのですが、上手い説明が出来たとは思えません。その説明の参考になればと思っています。

表記は『場の量子論―摂動計算の基礎』の付録と同じにします。
c = 1 の自然単位を用い、慣性系 S 系 (t,x,y,x) と それに対して x 軸正の向きに一定の速さ β で運動する別の慣性系 S' 系 (t',x',y',z') を考えます。γ≡(1-β2)-1/2 として、ローレンツ変換は



です。(これはブースト方向を x 軸に固定した形式であることに留意。)
さらに、



という記法を使うことにします。

[場の量子論―摂動計算の基礎』の付録の引用]============================
特殊相対論は、4次元ミンコフスキー時空上に定式化される。そこでは、[時間座標 t 、空間座標 x] や [エネルギー E 、運動量 p] はまとめて 4元ベクトル として扱われ、異なる慣性系の間は ローレンツ変換 で結ばれる。
=================================================================


さて、ブースト方向を x 軸に固定した形式のローレンツ変換は最初に上げたようなものになりますが、この方向が任意ならば、例えば



のような形式になります。

ここで、4次元ミンコフスキー時空上のベクトルの内積を考えることにします。
3次元ユークリッド空間ならば、



となることは周知のことと思います。これは座標回転変換で不変です。
さて、@4次元ミンコフスキー時空上のベクトルの内積を同じように定義して良いか?A定義した内積がローレンツ変化で不変か?というのが問題でしょう。
ここで4元ベクトルは細字(上付添え字を加えることもある)で表し、内積は AB のようにドットを付けない形にします(場の量子論ではそういう表記が便利だからなのででしょう)。つまり、



です。さて、内積を3次元に同様に



して良いのでしょうか?
残念なことに、こうするとローレンツ変換の前後で



となり不変ではありません。
ここは天下り的ですが、



としてみましょう。そうすると、











となり、ローレンツ不変で辻褄が合うことになります。

A0B0-A1B1+A2B2+A3B3 
A0B0-A1B1-A2B2+A3B3
A0B0-A1B1+A2B2-A3B3

などもブースト方向を x 軸に固定した形式のローレンツ変換では不変になりますが、空間方向の任意性から考えると

A0B0-A1B1-A2B2-A3B3

でないといけないことは分かると思います。


さて、3次元の内積と同じような形式にするには、







のようなものを定義して



とするしかないようですね。
(ここでとの違いは A0 以外の成分の符号が異なるだけなので、同じベクトルの異なった表現とも解釈できます。こういうことはあまり明示的に書いてないですね。「言わずもがな」ということかも知れませんが、、)


さて についてローレンツ変換を施すと、







で、とは異なる変換性をもつことが分かります。
したがって、



と表現し、



 と表現することとします。

Aμ : ベクトル A の反変 (Contravariant) 成分(あるいは反変ベクトル)

Aμ : ベクトル A の共変 (Covariant) 成分(あるいは共変ベクトル)

と呼びます。
私自身は「反変ベクトル/共変ベクトル」というのが言葉の混乱の元のように思えます。
同じベクトルの「反変成分/共変成分」とだけ呼んでいれば「基底ベクトルは共変ベクトルなのか?反変ベクトルなのか?」というような質問は出てこないと思います。
ただし、dxμ や ∂/∂xμ については「反変ベクトル/共変ベクトル」という表現はそれなりに意味があるのですが。。

今日はこの辺で。。

 

テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
ローレンツ変換と共変・反変ベクトル(1) T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる