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zoom RSS ローレンツ変換と共変・反変ベクトル(3)

<<   作成日時 : 2013/02/08 00:01   >>

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今回でお終いにしますが、最終的に何故「共変・反変」と呼ばれるかということに触れたいと思います。
ここまでの説明はすべて『場の量子論―摂動計算の基礎』(日置善郎著・吉岡書店)の付録によったもので、ディラック本の「1.特殊相対性理論」の前半の話題を詳細に説明したものです。ただし、「共変・反変」の謂れについてはディラック本には載っていませんし、初めて聴く人にこれを説明するのはかなり困難なんです。そういうところを補強したいと思い記事にしました。


ベクトルの反変成分はローレンツ変換されますが、共変成分はローレンツ変換が辻褄が合わないことは前の記事で示しました。
では、共変成分ではローレンツ変換がどう絡むかを考えます。

とりあえず、その変換を



とします。ここで、



を代入すると、



なので、



です。Λ-1 を両辺に作用させると、左辺は



であり、右辺は



です。つまり、



であり、共変成分は反変成分と逆の変換(Λ-1)を受けることになります。
要約すると、

 反変成分:Λ の変換を受ける
 共変成分:Λ-1 の変換を受ける

となります。




さて、最後に何故「共変・反変」と呼ばれるか?を考えましょう。
これからの説明では分かり易いように4元ベクトルを太字で示すことにします(普通は細字で示すのだが)。

・各軸方向の基本単位ベクトルを導入する。
 (時間軸に方向というのは感覚的に受け入れがたいのが、「二十二箇月の過去とかんずる方角」なんてのもあるし、、) 

・これを e(μ) (μ= 0,1,2,3 )と書く

・4次元時空内の任意の4元ベクトルを u とすると、

 

と表される

u は座標軸とは無関係に存在 → どんな慣性系から見ても u

・しかし、異なる系では一般に成分は異なる

・一方、異なる系というのは基本単位ベクトルの方向が異なるということで、e(μ) → e'(μ) ということ


e'(μ) と e(μ) の関係は u'μ と uμ の関係と同じではあり得ない

 e(μ) の変換性が

 

だとしたら、 

 

が成立しない

e(μ) は uμ と同じ変換則にしたがう

つまり、

・ Aμ は基本単位ベクトルと同じように("共に")変換される → 共変成分

・ Aμ は基本単位ベクトルと反対の変換を受ける → 反変成分

という訳ですが、どうも説明が上手くないですね。。


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