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zoom RSS ディラック本「ニュートン近似」を少し詳しく_(1)

<<   作成日時 : 2013/01/29 00:01   >>

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P.A.Mディラック「一般相対性理論」ちくま学芸文庫の「16. ニュートン近似」は実のところ分からないところがあったのですが、そういうところを飛ばして読んでいました。前記事「静的な重力場の条件で解らなかったこと」で少し理解が前進したので、少しづつ読んでいきたいと思います。

まず、静的ということで、計量テンソルが時間的に変化しないので、



で、前記事「静的な重力場の条件で解らなかったこと」から、



がいえるでしょう。つまり計量は



となるでしょう。この逆行列を求めると、必然的に



という形になります。(逆行列を求める方法を考えれば分かると思います。)



という関係もあり、



という条件があることが分かりました。
このため、



を見ると、最初の条件から  で、さらに とから、 が成立します。
したがって、



が言えるでしょう。

さて、 として、 から 



なので、



です。
ここで、「ニュートン近似」の条件である「粒子が光速に比べゆっくり動いている」粒子を考えましょう。
ディラック本では自然単位を使っているので、c が明示的でないので解かりづらいのですが、



と考えられるため、 なので、この場合



という関係が得られました。

さて、粒子の動きは測地線方程式に従うため、



つまり、



で、 および から、



です。 一方、 から、



なので、



となります。さらに、



で、 から、



なので、測地線から求めた運動方程式は、



となります。
ここで、 から 



であり、 に寄らないから添字 を下げて、



とすることが出来ます。

長くなりましたので、今日はこの辺で。。
  



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