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zoom RSS 相対論的力学のラグランジアンと作用

<<   作成日時 : 2013/01/25 00:01   >>

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前記事「静的な弱重力場_ニュートン近似」の最後にあげた宿題を考えます。
参考書はランダウ=リフシッツ「場の古典論 (原書第6版)=電気力学、特殊および一般相対性理論=」 のP27〜28「第2章 §8. 最小作用の原理」です。

最小作用の原理
すべての力学系に対して、作用と呼ばれるある積分 が存在して、 は現実の運動に対して極小値をとる。(その変分 がゼロになる。)

外力の影響を受けていない自由粒子の作用積分:
基準系の選び方に寄らない→ローレンツ不変でなければならない⇒あるスカラーに依存する
また、積分記号の下に入るのは1階の微分でなければならない

外力の影響を受けていない自由粒子に対してつくることのできるこの種の唯一のスカラーは、世界間隔 、あるいは、 を定数として である。

という前提から、作用積分は、



となります。 は正の実数で、極小値をとるためにマイナスを付けたということでしょう。
積分



の意味は、「粒子がそれぞれきまった時刻 に始点および終点に達するという2つの事象 のあいだの、すなわち2つの与えられた世界点のあいだの粒子の世界線にそってとったもの」ということです。

ラグランジアン を使うと、



と書けます。よって、





から、



ここで、c → ∞ では、



となり、Newton 力学での自由粒子のラグランジアンは



であることを考慮すると、 とすれば、第1項は定数となり、オイラー=ラグランジェ方程式に関係しないため辻褄があうことになります。したがって、



であり、



ということになります。

 

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