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zoom RSS 光の速さについて

<<   作成日時 : 2013/01/21 00:01   >>

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c というのは「真空中の光速度」ということになっていて、アインシュタインは「真空中の光速度一定」を前提の一つとして特殊相対論を発表したことは有名です。ここでは c を一つの定数として重力場中の光の速さを考えてみます。
重力場では時間が遅れるので光の速さは遠くから観測すれば遅くなるでしょう。そうでないと、重力レンズ効果なんて発生しないと思いますから。
ここでは重力場としてシュバルツシルト時空(外部解)を使います。私の実力だとカー解なんてとてもハンドリングできませんからね。

まず、ミンコフスキー計量は東海岸メトリックを使うと



と書け、シュバルツシルト計量は



と書けます。シュバルツシルト半径を、



と書くと



簡単になります。ここで遠方 とすると、



になります。これはデカルト座標を極座標で表すとき、



なので、



から、



で、結局遠方でミンコフスキー時空に近似するという良く知られた事実が確認できました。(まあ式を見れば直感的に分かることですが、、)


光跡は で与えられます。
ミンコフスキー空間で、y 方向に光線が走っているとして、 から、



となり、光の速さ



です。ここでは c が光速度ということになりますが、そうなるような理論を構築したのだから当り前といえば当り前ですね。

同じことをシュバルツシルト時空で考えてみましょう。
条件を単純化して、



と固定すると、



なので、光の速さ



ということになります。
つまり、c 以下で R によって光の速さが変わり、遠方でやっと c に近づくということですね。
重力場で光の速さは遅くなるということです。
 
ところで、R の位置での時計の刻みを dτR とすると、



なので、R の位置で光の速さで測定すると、時計の遅れを補正しなければなりません。
その光の速度を とすると、



で、いわゆる「真空中の光速度」になります。
歪んだ時空でも局所慣性系がとれて、そこでは特殊相対論が成立するので、これも当り前です。


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