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zoom RSS 測地線偏差の方程式

<<   作成日時 : 2012/11/07 00:01   >>

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今まで重力波について考えてきましたが、ここからは重力波の検出方法関係の話題にしたいと思います。
前記事で dl2 の動きについて考えましたが、ただ1点のみ変位を測定しただけでは、それが真の変位か解らないでしょう。どうしても異なる2点間の相対運動を測る必要がありますね。この相対運動を記述する方程式を考えましょう。(これは潮汐力の分析にも使えます。)

条件:近接した2点 にある2つの質点が、何らかの外力 を受けて運動しているものとする

この2点の方程式はそれぞれ






になります。これらの2式の差をとるのですが、まず2番目の式の左辺から変形していきます。(ξに関して1次まで。)








つまり、この2点の方程式はそれぞれ





なので、上式から一つ前の式を引くと、



であり、平均値の定理から、



です。
簡単に書くと、



が、とりあえず求める方程式です。


ここで、共変性が明白になるように



を使って、この方程式を書き変えることを考えます。
まず、











ですが、測地線方程式



を使うと、





となり、添字を揃えると、







となり、整理すると、



です。
これを、



に代入すると、



ですが、



なので、最終的には



となり、これを測地線偏差の方程式と呼ぶようです。


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コメント(4件)

内 容 ニックネーム/日時
もう、付いていけませんw。まあ、結果を元の測地線方程式と見くらべれば、測地線周りの単振動様の運動を惹起しそうですが、これはシミュレーションも難しそうです。平坦な時空に2質点(自由粒子)がある場合に波としての重力場が到来すると、水面に浮かんだボートの如くゆらゆら揺れる、というイメージでいいのかしら?と思いますが、どうなんでしょう。それにしても重力波の直接観測がなかなか成功しないのは、信号が微弱な所為ばかりでは無いような気がします。
明男
2012/11/07 10:16
これは二つの質点の相対座標がどう変化するか?ということなので、右辺のfをゼロとしてμ=1,2,3 として、共変微分を普通の微分と見なすと、d^2ξ/dt^2 はこの二つの質点間に働く力になって、α=γ=0 とするとリッチテンソルが潮汐力に関係するということになります。つまり曲率と潮汐力が関係するという当り前のことを表しています。
T_NAKA
2012/11/07 12:50
なるほど。ただ、気になるのがξの一次項があることです。ここで言う2点とは束縛された(距離が固定された)2点なので、束縛力が復元力となり得るかと穿ったのですが、それは勿論、曲率の(重力場中に)ある場合ですね。で、重力波が外力として強制振動を起こすなら力学的には分かりやすいんですけど、そうは問屋がおろさないかなあ。
明男
2012/11/07 18:01
加速度(力と言ってしまったほうが良いか?)はポテンシャルを座標で偏微分したものなので、
-R^i_0j0*ξ^j ≒-∂/∂x^i {φ(x+ξ)-φ(x)}
であり、{ }の中に平均値の定理を適用したと思って下さい。
φ(x+ξ)-φ(x) ≒ξφ'(x+θξ)
T_NAKA
2012/11/07 20:12

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