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zoom RSS [「シュレーディンガーの猫」のパラドックスが解けた!!] _ 分かりたい自分のために(2)

<<   作成日時 : 2012/11/27 00:01   >>

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さて、電磁場は、ベクトル・ポテンシャルのエンベロープが波動方程式に従うところから、そこに量子調和振動子モデルを当てはめることで量子化しました。この本では直接電場 E を扱って説明していますが、それはそれで良いと思います。
普通、光速で動く光子に非相対論的なシュレディンガー方程式を適用するのは変なのですが、それは変数 x を座標と見ているからでしょう。例えば電場の変位(普通はゼロである平均値からの差)として考えるなら、抽象化した調和振動子モデルで扱えると理解しています。さてこの調和振動子の性質を探るためにシュレディンガー方程式に戻ります。(「シュレーディンガー」なのか「シュレディンガー」なのかという問題があるんですが、私のブログでは後者を使っています。ただこの本では前者を使っているんで引用文はそのようにしています。したがって混在しているという印象を受けられるでしょうが、ご了承のほど。)

いきなり調和振動子ではなく、ポテンシャル V が時間に依存しない場合のシュレディンガー方程式の解法についておさらいしたいと思います。



において、



のように変数分離して、初めの式に代入すると、



から、



となり、左辺は f だけ、右辺は u だけの式なので、両辺とも定数ということでしょう。これを E と置くと、



と決まり、一方、空間部分の関数 u は



の解でなければなりません。なので、



という形になります。
ここで、ある境界条件のもとでは、E が特別な離散的な値をとる場合に限り解を持つことがあります。
さらに u に関する方程式は線形方程式なので、その一般的は異なる固有値をもつ固有関数の重ね合わせになります。
例えば、離散的固有値 En をもつ場合には、対応する固有関数 un(x) 、その係数を cn として、



がシュレディンガー方程式の一般解となります。

よって、調和振動子だと、





ただし、


  
となり、具体的な を求めることができます。
これを光子に適用しようと思いますが、ここで注意が必要です。

@ 変数 x は位置ではなく変位(この場合は電場)です。
つまり電場を測定するメータが示す値で、それが測定の度にバラつくということです。それが直ぐに光子の存在確率に結びつく訳ではありません。

A 電磁場=光子に適用する調和振動子モデルは、正しくは一般化座標から求めたものなので、上に書いた調和振動子の式で m の物理的意味は質量を示していません。

そういうことなので、ここでは α= 1 として話を進めます。

[  の状態 ]



から、



となり、変位の確率密度は



となります。つまり位相に無関係になってしまいます。これが、

画像


の意味だと考えました。
 

[ の状態 ]



から、



となり、変位の確率密度は




で、上と同様に、位相に無関係になってしまいます。これが、

画像


の意味でしょう。


[ の状態 ]







となり、変位の確率密度は





となります。図示すると、

画像


で、これはこの本の

画像


に当ります。


[ の状態 ]






となり、変位の確率密度は



で、図示すると

画像


となり、これはこの本の

画像


に当ります。
今日はこの辺で。。


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