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zoom RSS 重力波の平面波解(1)_TT(Transverse-Tranceless)ゲージ

<<   作成日時 : 2012/10/24 00:01   >>

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前記事で求めた重力波方程式の解を求めることになります。

真空中を伝播する重力波方程式は



で、その単色平面波解は



となりますが、これを具体的に求めてみるということになります。

[引用 p87]==============================================
 ここで は重力波の偏光テンソルと呼ばれ、その成分はすべて定数である。
 この は複素数であるが、電磁場 の場合などと同様に、実際にはその実部をとることを暗黙のうちに仮定している。
========================================================

当たり前ですが、量子力学の波動関数のように本質的に複素数ではなく、三角関数を簡易的に表しているということでしょう。

さて、ここまでで得られた条件から、

は対称テンソルなので、 も対称テンソル。つまり、

・ ゲージ条件、 から、
  
  
   
   

・ 波動方程式 から  
  偏光テンソルは成分がすべて定数なので、 であり、
   から、 
  
  
  

まとめると、

 、  、  

となります。

さて、この本「もう一つの相対論入門」では、「 は 10 - 4 = 6 の独立な自由度を持つように思えるが実際には 2 自由度しかない」という記述があるんですが、「10 - 4 = 6 の独立な自由度を持つように思える」というのがちょっとピンと来ません。。
対称テンソルなので、16 - 6 = 10 の独立な自由度を持つのは理解できます。後の 4 つの自由度はどういうことでしょう?
多分、 書き下すと、



とい4 つの制限で 4 つの自由度が減少するということになるのでしょう。
上手く説明出来ないので、これは受けいるとして、「実際には 2 自由度しかない」ということに検討に入ります。

ゲージ条件から、



を満たす を選べば としても方程式は変わらないということでした。
上の式を見ると、 を右辺に加えて としても式は変わらないことが分かります。つまり、この自由度が残っていることになりますね。
このように変換したものを とすると、「アインシュタイン方程式の弱場近似と線形化(3)」と全く同じ考察から、





が成立するので、 をみたす限り、 の自由度の存在はゲージ条件式には影響しません。
具体的に、 を定数とすると、



とすれば、条件 から、 が満たされます。
これを、 の右辺に代入すると、











となるので、次の引用に続きます。

[引用 p87]=========================================


となる。
 この式からも の 6 自由度のうち 4 つはこのゲージ自由度に対応していることがわかる。
 このように、重力波の本当の自由度は 10 - 4 - 4 = 2 である。
================================================= 

実は、ここのところを読んで良く分かりません。。上の式で 4 つはこのゲージ自由度に対応しているというのが上手く説明できません。しかし、ここは結果だけを受け入れて先に進むことにします。分かった時点で書き変える積もりです。。


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