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zoom RSS 時空の湾曲。。

<<   作成日時 : 2012/08/19 12:10   >>

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以前にも言及したことがあるのですが、「バロック風物理学序説」(佐藤純夫著_日本評論社)という奇書があり、ときどきパラパラ捲っています。ここで、「空間の湾曲と時空の湾曲の違いを知るのによい例題」というのがあるんですが、少し意味が分かり兼ねるのです。
多分、私の誤解によるものなのでしょうが、少しづつ引用してみましょう。

[引用@]==================
 いま小銃弾と野球ボールとが同じ区間を運動するときの経路を考える。
 簡単のためにボールの速度を 5 m/sec とし銃弾の速度 500 m/sec としてみる。
 そしてともに同一点から放り出され地上で 10 m 離れた地点に落下するものとしよう。
画像

 経路の最高点の高さをそれぞれ 5 m と 5×10-4m とする。  
=========================

図はお絵かきツールの所為でかなりいい加減で、縦方向のスケールは本気で描くと水平との違いが分かり辛いので、こんな表現になってます。
この問題の設定と図をどのように解釈したらよいのか?速度とはどの方向なのか?ちょっと分かり難くかったのです。。

図における軌道は円弧で書かれていますが、これを放物線とみると、「弾道計算というほどではないのだけれど」 の [Case 1] が「野球ボール」、[Case 2] が「小銃弾」に当たることが分かります。
x 方向の速度を計算すると、





となって辻褄が合います。
つまり、同じ重力場 g = 10 m/sec2 内で、こういう2つの軌道を採ることが可能ということです。

[引用A]==================
 これらのことを時空図に描いてみると挿図のようになる。
画像
 
 4次元時空図に描かれた運動経路を世界線(world line)という。
 OP は弾丸の世界線で、OQ がボールの世界線である。
 そしてどちらも x 軸上の成分はともに 10m になっている。
 時間軸上における OQ の投影 OTQ の長さは、
     
となり、 OP の投影 OTP の長さは
     
となる。
 どっちの長さも 10m に較べると桁ちがいに大きいから、それぞれの長さを OQ または OP の長さとみても大差ない。
=========================

上にあげた図では、x 軸の 10m のスケールと ct 軸上のスケールが実際と大幅に違うため、上の文章の中の「大差ない」というのが分かりづらいのですが、正しく描くとほぼ垂直に立ってしまいます。でももう少し遠いところに投げて「大差ない」という状況が作れなかった場合はどうなるか?そういうところは少し狡いような気もします。

[引用B]==================
 ところで円弧の高さ h と弦の長さ d とから半径 R を求めるには、
画像

     
から、
       
となる。
=========================

これ自体は幾何の関係で正しいため、特に意見はありません。老婆心ながら式の変形をやってみると、




から、



です。


[引用C]==================
 この式を用いて OTQ を弦として高さ h = 5m の弧の半径を求めると
     
となり、その長さは約1光年ほどである。
 次に OTP を弦とし高さ h = 5×10-4m を持った弧の半径は、
     
で先の値と一致する。
 このように弾丸もボ−ルも4次元時空においては同じ曲率半径を持ったところを運動しているのであることがわかったのであろう。
=========================


まあ、言いたいことは分かる積もりです。本来は放物線であるところを円弧と見立てて、その円弧の半径を「曲率半径」と言い換えているのでしょう。本来なら測地線方程式からクリストッフェル記号を求めてこれから「曲率半径」を計算するのが本来でしょう。これが可能かどうか?いまはちょっと分かりませんが。。
それから、重力加速度 g が場所によらずに一定というのは、等加速度運動と同じで、リンドラー座標となり、適切な座標変換で曲がっていない時空に移行できるので、その「曲率半径」にどれほどの意味があるのか?という疑問が払拭出来ません。。


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