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## 「マックスウェル方程式からのローレンツ変換導出」を再掲（３）

<<   作成日時 ： 2012/07/12 00:01   >>

 さて、前記事の結果とΣ'系の電磁場の方程式と比較することにより、式中の a を求めてみましょう。 まず、前記事までで求めた結果を上げておきます。 ================================================== $\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial E_{x}}{\partial {t}'}= \frac{\partial }{\partial {y}'}\left \{ a\left ( B_{z} -\frac{v}{c^{2}}E_{y}\right ) \right \}-\frac{\partial }{\partial {z}'}\left \{ a\left ( B_{y} +\frac{v}{c^{2}}E_{z}\right ) \right \}$ $\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( E_{y}+c^{2}\: \frac{1-a^{2}}{a^{2}v}B_{z}\right ) \right \}= \frac{\partial B_{x}}{\partial {z}'}-\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (B_{z}-\frac{v}{c^{2}} E_{y}\right ) \right \}$ $\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left (E_{z}-c^{2}\frac{1-a^{2}}{a^{2}v} B_{y} \right ) \right \}= \frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( B_{y} +\frac{v}{c^{2}}E_{z}\right ) \right \}-\frac{\partial B_{x}}{\partial {y}'}$ $\frac{\partial B_{x}}{\partial {t}'}=-\frac{\partial }{\partial {y}'}\left \{ a\left ( E_{z}+vB_{y} \right ) \right \}+\frac{\partial }{\partial {z}'}\left \{ a\left ( E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}$ $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left(B_{y}-\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{x} \right ) \right \}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( B_{z}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{y}\right )\right \}= -\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+\frac{\partial E_{x}}{\partial{y}'}$ ================================================== さて、Σ'系での電磁場の方程式は次のようになるでしょう。 ================================================== $\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial {E_{x}}'}{\partial {t}'}=\frac{\partial {B_{z}}'}{\partial {y}'}-\frac{\partial {B_{y}}'}{\partial {z}'};\;\; \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial {E_{y}}'}{\partial {t}'}=\frac{\partial {B_{x}}'}{\partial {z}'}-\frac{\partial {B_{z}}'}{\partial {x}'};\;\; \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial {E_{z}}'}{\partial {t}'}=\frac{\partial {B_{y}}'}{\partial {x}'}-\frac{\partial {B_{x}}'}{\partial {y}'}$ $\frac{\partial {B_{x}}'}{\partial {t}'}=-\frac{\partial {E_{z}}'}{\partial {y}'}+\frac{\partial {E_{y}}'}{\partial {z}'};\;\; \frac{\partial {B_{y}}'}{\partial {t}'}=-\frac{\partial {E_{x}}'}{\partial {z}'}+\frac{\partial {E_{z}}'}{\partial {x}'};\;\;\frac{\partial {B_{z}}'}{\partial {t}'}=-\frac{\partial {E_{y}}'}{\partial {x}'}+\frac{\partial {E_{x}}'}{\partial {y}'}$ ================================================== これらの式を比較してみると、 ================================================== ${E_{x}}'= E_{x}$ ${E_{y}}'=a\left ( E_{y}+c^{2}\frac{1-a^{2}}{a^{2}v} B_{z}\right )= a\left ( E_{y}-vB_{z} \right )$ ${E_{z}}'=a\left ( E_{z}-c^{2}\frac{1-a^{2}}{a^{2}v} B_{y}\right )= a\left ( E_{z}+vB_{y} \right )$ ${B_{x}}'= B_{x}$ ${B_{y}}'=a\left ( B_{y}-\frac{1-a^{2}}{a^{2}v} E_{z}\right )= a\left ( B_{y}+\frac{v}{c^{2}}E_{z} \right )$ ${B_{z}}'=a\left ( B_{z}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v} E_{y}\right )= a\left ( B_{z}-\frac{v}{c^{2}}E_{y} \right )$ ================================================== が成立すると辻褄が合うことになります。 つまり、 $\frac{a^{2}-1}{a^{2}}= \frac{v^{2}}{c^{2}}\; \rightarrow \; \frac{a^{2}-1}{a^{2}v}= \frac{v}{c^{2}}\; ,\; a= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}= \gamma$ ということであり、 ${t}'=at+ \frac{1-a^{2}}{av}x\; ;\;\; {x}'= -avt+ax\; ;\; \; {y}'= y\; ;\; \; {z}'= z$ という変換式は、 ${t}'=\gamma \left ( t-\frac{v}{c^{2}}x \right )\; ;\;\; {x}'=\gamma \left ( x-vt \right ) \; ;\; \; {y}'= y\; ;\; \; {z}'= z$ とローレンツ変換式になります。 ちなみに、真空の電磁場のローレンツ変換は上で求めた通り、 ================================================== ${E_{x}}'= E_{x}$ ${E_{y}}'= \gamma \left ( E_{y}-vB_{z} \right )$ ${E_{z}}'= \gamma \left ( E_{z}+vB_{y} \right )$ ${B_{x}}'= B_{x}$ ${B_{y}}'= \gamma \left ( B_{y}+\frac{v}{c^{2}}E_{z} \right )$ ${B_{z}}'= \gamma \left ( B_{z}-\frac{v}{c^{2}}E_{y} \right )$ ================================================== となります。

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