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「マックスウェル方程式からのローレンツ変換導出」を再掲（２）

<<   作成日時 ： 2012/07/10 00:01   >>

 次に磁場 B の t' による偏微分を考えていきたいと思います。 まず、 $\frac{\partial B_{x}}{\partial {t}'}= a\frac{\partial B_{x} }{\partial t}+av\frac{\partial B_{x}}{\partial x} = a\left ( -\frac{\partial E_{z}}{\partial y} +\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right )+av\left ( -\frac{\partial B_{y}}{\partial y}-\frac{\partial B_{z}}{\partial z} \right )$ $=-\frac{\partial }{\partial y}\left \{ a\left ( E_{z}+vB_{y} \right ) \right \}+\frac{\partial }{\partial z}\left \{ a\left ( E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}$ $=-\frac{\partial }{\partial {y}'}\left \{ a\left ( E_{z}+vB_{y} \right ) \right \}+\frac{\partial }{\partial {z}'}\left \{ a\left ( E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}$ で、次に $\frac{\partial B_{y}}{\partial {t}'}= a\frac{\partial B_{y} }{\partial t}+av\frac{\partial B_{y}}{\partial x} = a\left ( -\frac{\partial E_{x}}{\partial z} +\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right )+av\frac{\partial B_{y}}{\partial x}$ $= -a\frac{\partial E_{x}}{\partial z}+\frac{\partial }{\partial x}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ $= -a\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{1-a^{2}}{av}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}+a\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ $=a \left [ -\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}+\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \} \right ]$ なので、全体を a で割って $\frac{a}{a^{2}}\frac{\partial B_{y}}{\partial {t}'}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}+\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ から、 $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( \frac{B_{y}}{a^{2}}-\frac{1-a^{2}}{a^{2}}B_{y}-\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{x} \right ) \right \}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ なので、 $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left(B_{y}-\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{x} \right ) \right \}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ となります。 さらに、 $\frac{\partial B_{z}}{\partial {t}'}= a\frac{\partial B_{z} }{\partial t}+av\frac{\partial B_{z}}{\partial x} = a\left ( -\frac{\partial E_{y}}{\partial x} +\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right )+av\frac{\partial B_{z}}{\partial x}$ $= -\frac{\partial }{\partial x}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+a\frac{\partial E_{x}}{\partial y}$ $= -\frac{1-a^{2}}{av}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}-a\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+a\frac{\partial E_{x}}{\partial {y}'}$ $=a \left [ -\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}-\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+\frac{\partial E_{x}}{\partial {y}'} \right ]$ なので、全体を a で割って $\frac{a}{a^{2}}\frac{\partial B_{z}}{\partial {t}'}= -\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}-\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+\frac{\partial E_{x}}{\partial {y}'}$ から、 $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left (\frac{B_{z}}{a^{2}} -\frac{1-a^{2}}{a^{2}} B_{z}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{y}\right ) \right \}= -\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+\frac{\partial E_{x}}{\partial {y}'}$ なので、 $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( B_{z}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{y}\right ) \right \}= -\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+\frac{\partial E_{x}}{\partial {y}'}$ となりました。 さて、この記事の結果をまとめますと、 ================================================== $\frac{\partial B_{x}}{\partial {t}'}=-\frac{\partial }{\partial {y}'}\left \{ a\left ( E_{z}+vB_{y} \right ) \right \}+\frac{\partial }{\partial {z}'}\left \{ a\left ( E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}$ $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left(B_{y}-\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{x} \right ) \right \}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial {z}'}+\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left ( E_{x}+vB_{y} \right ) \right \}$ $\frac{\partial }{\partial {t}'}\left \{ a\left ( B_{z}+\frac{1-a^{2}}{a^{2}v}E_{y}\right ) \right \}= -\frac{\partial }{\partial {x}'}\left \{ a\left (E_{y}-vB_{z} \right ) \right \}+\frac{\partial E_{x}}{\partial {y}'}$ ================================================== となります。 今日はこの辺で。。

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