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zoom RSS 無限小座標変換

<<   作成日時 : 2012/06/06 09:41   >>

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上田博「独学 一般相対論」牧歌舎 に書いてあった内容で、後で必要になりそうなので、ここに書いておきます。

[引用 P133]========================
ε:無限小パラメータ ξ:x の任意の関数



上のような座標変換を無限小座標変換という。





が成立する。
===================================

(1)は座標変換式を偏微分すれば出てくるので問題ないのですが、(2)は証明の必要がありそうです。
簡単には、(1)と(2)から



であり、

左辺:



右辺:



でε2 の項を無視すると、





となり、左辺=右辺 が成立します。
まあ、これでもいいんですが、テキストに沿った証明方法を以下に示します。



の左辺に(1)を代入すると、



となり、この左辺を変形して行くと、



から、



となります。この式から



が言えるので、これをこの(3)式に代入すると、




で、ε2 の項を無視すると、



です。つまり、



で、添字を i→k と変更すると、



で(2)式を示すことが出来ました。






世界測地系と座標変換
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