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zoom RSS もろもろの変換式

<<   作成日時 : 2012/06/17 00:01   >>

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はっしー帝國さんの「速度の合成則はローレンツ変換そのものなのだ。」 http://green.ap.teacup.com/hasea-teikoku/387.html に触発されて記事を書いてみました。表題の変換は相対論的力学を4元ベクトルを使って真面目にやればいいんですが、どうもとっつき難いのです。
ここは「相対論と高エネルギー物理」(W.G.V.Rosser著、三島信彦訳、共立出版)http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320007277 という古い本に書いてあった内容をもとに、もろもろの変換式にもっていきたいと思います。

まず、基本的なローレンツ変換を思い出しましょう。
慣性系Σ'はΣに対して一様な速度 v で、それらに共通する x 軸にそって運動しており、t = t' = 0 に両者の原点は一致すると仮定しておきます。
こうすると、





   (ただし、


さて、Σにおいて、粒子は時刻 t に点 x,y,z にあり、時刻 t+dt に x+dx,y+dy,z+dz にあると測定されたとします。
このときΣに対する粒子の速度は、成分

   

を持つベクトル とし定義され、その大きさは



から与えられます。


1.速度の変換

Σ'系で粒子の移動を考えると、時刻 t'+dt' に x'+dx',y'+dy',z'+dz' となるので、





であり、これらから、x',y',z', t' を引いて、



となります。これから、







です。逆変換は±を考えれば良いので、



となります。

2. の変換

これは次の変換の準備です。





なので、



となります。見づらいので分子だけ取り出して分解すると、







です。したがって、



から、



で逆変換は



となります。

3.運動量とエネルギーの変換

Σ系において、高速粒子の運動量とエネルギーは





であり、Σ'系では、





です。したがって、





また、



であり、同様に、



です。
また、





となります。

まとめると、



であり、逆変換は±を考えれば良いので、



です。
実は、この他に力の変換があるのですが、長くなったので、この次にしたいと思います。
あしからず。。



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