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zoom RSS エネルギー・運動量テンソルの形(2)

<<   作成日時 : 2012/06/14 00:01   >>

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前記事で求めた Tμν はテンソルなのか?というのを調べることになりますが、その際の変換について考えます。

唐突ですが



という座標変換を考えます。1/3! というので何か3通りの項があることを予想されますね。
これからは、話を簡単にするために、Pを原点にしましょう。つまりP点においては、 (μ=0,1,2,3) ということです。また、この式の は点 P の近傍では、3次の微少量です。
これを偏微分すると、



 

ですが、ダミー添字を整理すると、

 

まとめますと、



です。さらに「無限小座標変換」から、



でしょう。また、これから、



さらに、





です。ここで P点においては、



なので、



であり、この結果を踏まえると、





これらの関係を使い、変換後の計量とその偏微分の関係を求めてみます。



から、



です。また、











です。変換前の時空が測地系であることを考慮して、まとめると、





となります。初めに示した座標変換で測地系の性質は保持されることが分かりました。
今日はこの辺で。。

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