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zoom RSS 測地系あるいは測地線座標系

<<   作成日時 : 2012/06/08 00:01   >>

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「アインシュタイン方程式へ(2)」の最後で、[定理A] を提示しましたが、証明には言及しませんでした。
どうも、かなり長いものになりそうなので、少しづつ進めることにしたいのです。というか、記事を書きながら考えているので、いまのところ証明は理解していません。今回は、この証明の前提となる「測地系あるいは測地線座標系」について考えます。

「測地系あるいは測地線座標系」とは

 時空内の任意の1点 P を選べば、その点においては、平坦な時空が存在し、その時空を測地系あるいは測地線座標系というようです。

画像


いま注目する任意の点 P を として、その近傍で



という変換を考えます。
このとき、 の近傍なので、 は、小さく は、2次の微少量と考えられます。だから、k を定数として上式は簡単化して書くと、



と出来ます。つまり、



で、凛 の2次以上を無視すると、



という逆変換が求まりますので、



と書けます。
ここから、








となります。同様に、



であり、



です。

(ここまでの議論は「無限小座標変換」の後半の証明とほぼ同じロジックですね。)

ここで、クリストッフェル記号の変換



に代入すると、







と、ゼロになり平坦な時空が存在することが分かります。

しかし、最後の計算に誤魔化しがあります。 の1次の項を残して計算すると、



が残ってしまうのです。。
これは という項を微少量の2次のオーダということでネグレクトしているのかも知れませんね。
(少し考えさせて下さい。)



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