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zoom RSS エネルギー運動量テンソル(2)

<<   作成日時 : 2012/05/23 00:01   >>

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この「エネルギー運動量テンソル: Tμν 」の説明について、いろいろと本を読んでみましょう。

上田博「独学 一般相対論」牧歌舎 では

 エネルギー密度、運動量密度が



 のように組み入れられたもの。
 他の成分 Tμν (1≦μ、ν≦3) は「μ=一定面 を横切る運動量の流れのν成分」


須藤靖「一般相対論入門」日本評論社 では

: エネルギー密度 

: 運動量密度の第 成分

: 単位時間に 軸に垂直な単位面積を通って流れるエネルギー(エネルギーフラックスの第 成分)

軸に垂直な単位面積を通って 単位時間あたりに流れる運動量(力) の第 成分
           =非相対論的流体力学での応力ッテンソル


 この本 須藤靖「一般相対論入門」日本評論社 では c = 1 という自然単位を使っているので、[質量]=[エネルギー]=[運動量] ですべて同じ次元を持つことに注意です。
 さて、このときエネルギー運動量テンソルは対称:   
 
   

 となります。
 証明として、まず時間-空間成分については

 T0j =(エネルギーフラックス)  = (エネルギー密度)×(エネルギー流速の平均速度) 
   = (質量密度)×(質量流速の平均速度) = (運動量密度)  = Tj0

 空間-空間成分に関しては下図で示されるような無限小体積の直方体の周りの角運動量の保存則を考えます。

画像


 Tij の定義「 軸に垂直な単位面積を通って 単位時間あたりに流れる運動量(力) の第 成分」ということから、この図の z 軸周りのトルク τz は、



で、これがゼロにならなくてはいけないので、 が成立します。
同じ論法で一般化すると、 が成立することになります。





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