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zoom RSS エネルギー運動量テンソル(1)

<<   作成日時 : 2012/05/21 00:01   >>

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完全流体まで考えたのですが、その前にもう少し基本的なところで Tμν を考えていきたいと思います。そこで、今回から少し毛色の違ったテキストを勉強します。具体的にいうと 上田博「独学 一般相対論」牧歌舎 の P99〜P113 辺りです。

著者の上田博氏は (2004 年当時)高校の数学の先生だそうで、「専門書への入門書」という位置づけで、この本を書かれているようです。なので数式の展開なども丁寧で、わかり易いものと感じました。

さて、

 S’:慣性系Sに対して速さvで動いている慣性系
 ρ’:S'系で静止している物体の質量密度
 ρ:この物体をS系でみたときの質量密度

とすると、単位体積当りのエネルギー密度は



ですが、これをS系でみるとどうなるでしょう?
これは「密度」なので、質量(=エネルギー)のみの変換ではうまくないでしょうね。
Vを体積、mを物体の質量とすると、ローレンツ変換(収縮)のため、



なので、



です。よって、



となります。

また、

 P :S系からみた物体の運動量
 K :S系からみた物体の運動量密度

とすると、



であり、



です。
ここで、物体の静止系であるS'系の物質密度ρ’を ρ0 としてまとめると、



となります。

ここで4元速度 uμ を導入します。



(ただし、x0 = ct )



から、



なので、



さらに、




です。これを使って、



と書くことができます。
ここで、



というテンソルを導入すると、



と表現できます。この Tμν のことをエネルギー運動量テンソルと呼びます。
このテンソルの詳細は次の記事で考えることにしますので、今日はこの辺で。。



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