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zoom RSS 球対称時空のおさらい

<<   作成日時 : 2012/03/07 00:01   >>

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これは、シュワルツシルド時空でもロバートソン−ウォーカー時空にも共通なので、前おきとして、計量の一般的な形を検討したいと思います。

「球対称」である仮定のもとで、球座標(r,θ,φ)を用いれば、球対称時空の成分は角度座標に依存してはならないので、



となるでしょう。出来れば dtdr の項をゼロにするように t → t'、r → r' と座標変換すれば便利です。つまり、

 

であるような2つの条件を満たすような新たな座標 t'、r' を選ぶことが可能です。
その上で、



とすると、



となり、改めて(r',t')を(r,t)と再定義すれば、



で、これが球対称時空の一般的な線素となります。
というのは少しあざとい感じがしますね。まあ正値であれば良いので、後で計算する際に便利ということでしょう。


さて、天体の重力収縮・崩壊などのように時間的に変化する現象を扱うなら、上述のような座標(変数)変換ではなく、



として、改めて(r',t')を(r,t)と再定義し



とした方が良いということです。
この場合、動径座標 r は半径ということではなくて、χ(r,t) が"半径"に相当するものになります。

今後はこれを元に話を展開していきたいと思います。

参考文献:須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」P49〜50 


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