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zoom RSS 球対称時空のクリストッフェル記号(1)

<<   作成日時 : 2012/03/21 00:01   >>

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では、球対称時空に対するクリストッフェル記号を徐々に計算していきましょう。
まず、線素を固有時を主体に書き直す(西海岸方式で考えるといっても良いが)ことにします。



クリストッフェル記号は gμν から定義通り計算しても求められるのですが、
すこしばかり手間を省くために、変分法を考えることにしましょう。具体的には、



とし、τに関して変分した結果はオイラー-ラグランジュ方程式:



に帰着し、 に対する4つ式が得られます。
その結果を測地線方程式




と比較して、対応する項から Γμαβ を読み取れば良いことになります。
t と r に対する微分をそれぞれ(上にドット )と( ’)で記すことにして、少しずつ計算していきましょう。

[例題1]==============
μ= 0 ( x0 = t )成分を書き下し、Γtαβ のゼロでない成分を求めよ。
(あまり良い表現ではないですが、クリストッフェル記号では μ= t などと書いてあることに注意願います。 )
======================














なので、オイラー-ラグランジュ方程式から、





で、整理すると、





が測地線方程式になります。

ここからゼロでないクリストッフェル記号を読み取ると、





となります。


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