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zoom RSS 計量テンソル行列式関係(4)

<<   作成日時 : 2012/02/07 00:01   >>

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ここでは、共変化されたダランベルシアンを求めます。

[例題3]===============
前記事の



を用いて共変化されたダランベルシアンの表式が



と書けることを示せ。
この表式を利用して、極座標での3次元ラプラシアンを書き下せ。
=======================


適当なスカラーを設定して共変化された∇を計算すれば良いのかも知れませんが、どうも上手く理解できません。
とりあえず、曲がっていないミンコフスキー空間でのダランベルシアンを考えていきます。







ということだったと思います。
ちょっと、表現を変えると、というか曲がった時空を見据えると、f をスカラーとして



となります。
ところで、ベクトルの成分の共変微分がクリストッフェル記号を含む複雑な変換を受けるのは、基底が変化するからです。スカラーは基底とは関係ない量であるので、共変微分も偏微分も何ら変らなので次式が成立します。つまり、



なので、共変化されたダランベルシアンを考えると、



です。つまり、



となりました。


この式をユークリッド3次元空間に用いると、ラプラシアンになるはずですね。
この場合、



です。直交座標なら



なので、



です。
次に極座標で考えてみましょう。



なので、



から、







という量子力学でお馴染みの式が出てきました。



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