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zoom RSS 変分原理からアインシュタイン方程式の導出(1)

<<   作成日時 : 2012/02/13 00:01   >>

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ヒルベルトが独立にアインシュタイン方程式の導出したという話がありました。
「ヒルベルトとアインシュタインとではどちらに先取権があるか?」http://teenaka.at.webry.info/201001/article_25.html に書いたようにどうもそれはアヤシイと考えざるを得ません。
しかし、変分原理からアインシュタイン方程式の導出が出来ることは確かで、これを徐々に考えていこうと思います。
「もうひとつの一般相対論入門」(須藤靖著、日本評論社)の問題を参考にしていきます。


[目標]-----------------------
アインシュタイン-ヒルベルト作用:



から変分原理によってアインシュタイン方程式の左辺が導かれることを示す。
----------------------------- 


[例題1]===============
という変分を考える。
「計量テンソル行列式関係(2)」http://teenaka.at.webry.info/201201/article_30.html で検討した結果を用いて



を示せ。
=======================


「計量テンソル行列式関係(2)」http://teenaka.at.webry.info/201201/article_30.html で検討した中で、



という関係を得ています。ここから変分を類推すると、




となります。
また、



であり、



なので、



となり、



ということになります。

つまり、





が得られました。



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