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zoom RSS 測地線方程式の導出(1)

<<   作成日時 : 2012/01/05 00:01   >>

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「測地線方程式の導出」には3通りあるように思えます。それをおさらいしたいと思いますが、まず一番簡単なものから。。

ニュートン力学で、等速直線運動を方程式で表すと、



ということになりますが、ミンコフスキー座標を ξα で表し、固有時τで表現すると、



ということになります。
(ただし、 です。)
「等価原理」によれば、自由落下する物体の時空点の近傍ではミンコフスキー座標を ξμ がとれて、重力は消去されるので、この等速運動をすることになります。

さて、実際の曲がった時空を意識して左辺に関して



つまり、



ですが、両辺に ∂xμ/∂ξα を掛けて、





から



となります。


一方、接続係数(クリストッフェル記号)の座標変換は



であり、ミンコフスキー座標 ξμ の計量テンソルは定数なので



となり、



という測地線の方程式が出てきました。

参考文献:
 細谷暁夫「時空の力学_一般相対論の物理」岩波書店 P26〜27
 須藤靖「一般相対論入門」日本評論社 P48〜49


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