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zoom RSS 内積と計量

<<   作成日時 : 2012/01/03 00:01   >>

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「いまさら双対空間(1)(2)」で示したように物理量というのは(同じ物理量でも)選んだベクトル空間(双対ベクトル空間)で表現が異なることになります。しかし、我々が扱うのは具体的な数値なので、これら同士を組み合わせて数に対応させる規則を定義する必要があります。具体的には「内積」を定義することになります。

ベクトルで表現される2つの物理量 から数を対応させる演算を括弧で表すことにすると、

が考えられ、この表現で必ず同じ意味に計算されなければいけません。これらを具体的に計算すると、



ですが、



は「いまさら双対空間」で明確ですが、その他の内積を次のように定義というか、示すことにしましょう。





これを使って、先の計算をすると、



となります。
ここで、これらの値はすべて等しい、つまり、



という要請をします。そうすると、



であり、



また、



ということになります。
つまり、 はベクトル成分の添え字の位置を上げ下げする働きがあることが分かります。
また、



であり、



から、



です。つまり、 はお互いに逆行列に関係になっている必要があります。

さて、無限小距離を表すベクトルを



とすると、その内積は



となります。

参考文献:
 須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」日本評論社 P23〜24





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