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zoom RSS ゲージ理論と相互作用のおさらい

<<   作成日時 : 2012/01/02 00:01   >>

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ゲージ理論というのは分かり辛いので、概要を自分なりにおさらいします。
これについては、一般相対論との類推で、以前本ブログでも取り上げていたのですが、どうも自分の理解が足りなかったようです。

以前の記事とは

 「接続係数とゲージ相互作用(1)」  http://teenaka.at.webry.info/200910/article_14.html
 「接続係数とゲージ相互作用(2)」  http://teenaka.at.webry.info/200910/article_15.html
 「接続係数とゲージ相互作用(3)」  http://teenaka.at.webry.info/200910/article_16.html

のことです。
内容は、

 「ゲージ原理とゲージ場(2-1)」 http://teenaka.at.webry.info/201111/article_31.html
 「ゲージ原理とゲージ場(2-2)」 http://teenaka.at.webry.info/201112/article_1.html

とほぼ同じですね。

ストーリーとしては、平らな空間の運動方程式は普通に微分を使いますが、一般座標変換を考えて拡張すると、それを「共変微分」に置き換えないといけなくなります。そこには接続係数(一般相対論の場合はクリストッフェル記号)が出てきます。この Γ は結局「重力」を表しています。
つまり、一般相対論では相互作用(重力)がそういう手順で出てきてしまいます。等価原理で局所的にミンコフスキー空間で近似できるものを繋げていく接続係数が重力ということになります。

[須藤靖「一般相対論入門」日本評論社 からの引用]========
 この一般相対論の例と同じく、ある種の変換に対する理論の局所的不変性(対称性)を要請すると、それに対応して相互作用が規定される。これがゲージ理論の考え方と言ってよい。自然界のすべての相互作用がゲージ理論で記述される必然性が証明されているわけでもないにもかかわらず、その美しさのために、ほとんどの物理学者は「ゲージ理論教」に入信している。
======================================================

この例として、自由粒子に対するディラック方程式



をとります。ラグランジアンは



です。さて、



という「局所的ゲージ変換」を考えると、微分項で



と第2項のようなものが付いてきてしまうので、ラグランジアンの形を大きく変えないためには微分の定義を変えて

 に対応して 

となるように「共変微分」を選ぶことになります。具体的には「接続係数」Aμ を導入して、

 

とおくと、





なので、



です。ラグランジアンは、



と、第2項の電磁場と粒子の相互作用が自然と出てくることになります。

[須藤靖「一般相対論入門」日本評論社 からの引用]========
なんと電磁場と粒子の相互作用項(jμAμ)が自然と出てきてしまった。自然界の相互作用という文脈とはまったく関係なく、単に数学的な対称性を勝手に要請した結果として導入された接続係数 Aμ は我々が知っている電磁場のベクトルポテンシャルという物理的な意味を持っていたのである。これは奇跡としか思えない。そして人間は、目の前で奇跡(もどき)を見せられると、ついつい入信してしまうものである。これが、ほとんどの物理学者が「ゲージ理論教」に帰依している理由である。
======================================================

それから一般相対論では共変微分の非可換性が時空の曲率に結びついていたので、この場合を計算すると、



電磁場テンソルが出てくることになります。


参考:「ヒッグス粒子と質量の起源」 6/47 ページ
http://www.icepp.s.u-tokyo.ac.jp/~asai/Lecture/4nensei2-2011.pdf



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