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zoom RSS Schwarzschild 時空での座標時と時空時の関係

<<   作成日時 : 2012/01/15 00:01   >>

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どうも「事象の地平線」(Schwarzschild 半径)が特異点ではないということがどうしても理解できないという人が居るようですね。普通、座標変換してそれを説明するのですが、変換式が発散するので、そういう説明は無効だと主張しているみたいです。
それに関連した標題の件について考えてみたいと思います。

まず、

「『自由落下をもう少し考えてみた。。』を少し分かり易くして再掲」
http://teenaka.at.webry.info/201105/article_23.html

から、Schwarzschild 時空で自由落下する場合は



なのですが、r → ∞ で dτ→ dt から ε= 1 なので、



となります。

[「時空と重力」P161より引用]==========================
この式は大変奇妙なことを表している。つまり座標時で測る時計の動きは r → a とともどんどん早くなり、r = a ではその早さが無限大になるのである。さらに r < a では dt/dτ< 0 となり、t には普通の時間の意味を与えることはできなくなる。
======================================================


一般的には、固有時で測る時計の動きが停止するという説明の仕方になりますね。つまり遠方で用いた座標時で考えて、だんだん動きがゆっくりになって、事象の地平線に貼り付くというような説明です。

確かに、この式からは、r = a は特異点のように見えます。確かに、遠方座標ではそのような理解になるでしょう。
亀座標でも Dirac 本にある座標でも、遠方座標とそれらの座標との変換式にはそういう発散する性質が残ってしまいます。
そうでないと、遠方座標で「事象の地平線」と認識されることはありません。
もし、発散しない変換式が発見されたとしたら、逆変換で遠方座標にもう一度変換すると、「事象の地平線」のような「特異点もどき」が発生することはなくなるでしょう。それは論理的に矛盾になると思います。だから、座標変換式に発散する性質が残ってしまうのは当たり前ということになるでしょう。

なので、この「特異点もどき」は気にしないで固有時だけで考えてみましょう。

さて、dθ= dφ= 0 として、



から、







つまり、



なので、



となります。両辺を τ で微分すると、



なので、



という形になります。固有時ではありますが、Newton 力学の方程式と同じ形になりました。これは r = a で発散するような式ではありません。
つまり t を忘れてしまえば、「事象の地平線」は特異点ではないということになります。

さて、



から、



を積分してみることを考えます。中心に向かって落下することを考えると、マイナスの方をとって、



とし、両辺を積分します。



 K:積分定数

これを少し変形して、



とし、r = 0 のときτ=τ0 とすると、



なので、



となります。

[「時空と重力」P162より引用]==========================
これによると r > a なる1点から出発して r = a に達するのに要する時間は固有時で測れば確かに有限である。さらに r = a の球面を通過した後、有限の固有時の経過の後に原点 r = 0 まで達する。つまり落下していく質点に乗った観測者から見ると、r = a の地点を通過することは何も不思議なことではないのである。不思議に思うのは、遠方で用いた座標時をそのまま用いている観測者だけである。
======================================================

ちょっと変な感じがするのは、



という式で r = a で落下速度が光速(c)に達し、r < a で光速を超えてしまうことです。

しかし、これは特殊相対論に反することではありません。遠方座標の r と固有時 τ の比なので、普通の意味での速度ではないからです。
 
参考文献:
 藤井保憲「時空と重力」産業図書 P160〜162


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