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zoom RSS 「クリストッフェル記号はテンソルではない。」という記事は適正ではないようだ。。(2)

<<   作成日時 : 2011/12/25 00:01   >>

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前記事で準備ができたので、いよいよクリストッフェル記号(接続係数)の座標変換を考えます。
ここで、いつも悩むのは変換後の変数にプライムを付けるのですが、変数(例えば x )に付けるのか?添え字(例えば μ )に付けるのか?ということです。
平川浩正「相対論」共立出版 や 藤井保憲「時空と重力」産業図書 は前者で、有名なディラック本や 内山龍雄「相対性理論」岩波書店 は後者であり、この記事のネタ本である 須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」日本評論社 も後者です。素人の感覚では前者が自然だと感じるのですが、添え字の種類が増えるという短所があります。本ブログでは適宜使い分けますが、ここでは後者の方法を採用します。

前記事から、



であり、基底の変換則



から、



です。したがって、











つまり、



です。一方、



なので、右辺同士を比較すると、



となります。
(添え字はαとβの順番を揃えたり、項内で消費されてしまうものは1項と2項であえて違うものを使っていることに注意願います。)


参考文献:須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」日本評論社 P20〜P22

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