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zoom RSS 「クリストッフェル記号はテンソルではない。」という記事は適正ではないようだ。。(1)

<<   作成日時 : 2011/12/23 00:01   >>

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「クリストッフェル記号はテンソルではない。」http://teenaka.at.webry.info/200906/article_29.html という記事を以前書いたことがあるのですが、どうも適正ではないようです。共変微分の定義まで遡っていかないといけないようなので、そこから始めます。

・ベクトルの微分

時空上の点 P において基底 eμ(P) (μ= 0〜3)を選んだとき、ベクトル A(P) を基底の α 方向に沿って微分したものを



と書きます。
最後の部分は「積の微分」



ということを意識して、「そうなるべきだ」という意味です。 
さて、▽αAμ という部分ですが、これはベクトルの成分(単なる関数)自体の微分なので、点 P におけるα方向の偏微分と考えて良いと思います。
つまり、



です。これを踏まえて書き直すと、



ですが、この第1項 は、基底ベクトル eμ(P) の線形結合になっていることに注意です。
「ベクトル A(P) を基底の α 方向に沿って微分したもの」がベクトルだとすると、これの全体も基底ベクトル eμ(P) の線形結合になっていないとおかしいので、第2項無いの も基底ベクトル eν(P) の線形結合になってはずです。つまり、



と書けるとすると、



となります。
これが共変微分の意味であって、接続係数(クリストッフェル記号)Γ の「接続」という意味は、

[引用]========================
接続という言葉は、基底の微分を通じて、ある点で定義された基底をそこから無限小だけ離れた隣の点で定義された基底に結び付ける(=接続する)という意味を持つ。
==============================

ということで、ベクトルを微分するときには成分の微分だけではダメで基底を微分した項も忘れずに付けておくことということです。

「クリストッフェル記号はテンソルではない。」という記事では、基底を意識するというこういう考えを無視して座標変換のみを考えたので、上手くいかなかったのでしょう。次の記事でそれを踏まえてクリストッフェル記号の座標変換を考えることにします。
今日はこの辺で。。。


参考文献:須藤靖「もうひとつの一般相対論入門」日本評論社 P20〜P22

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