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zoom RSS スナイダーの時空量子化(3)

<<   作成日時 : 2011/12/19 00:01   >>

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では、「量子化」の話に入っていきますが、これは『量子重力理論とはなにか』(竹内薫著・ブルーバックス)からの受け売りなので、正しい知識を得たい方は直接この本を読んでいただきたいと思います。

『量子重力理論とはなにか』(竹内薫著・ブルーバックス)からの引用==========
この「ドジッター宇宙」は、実際の時空モデルだが、「運動量空間」は、自らの時空モデルの構築に際して、時空ではなく「運動量空間」がドジッター空間になっていると仮定した。つまり、ドジッターが考えた宇宙そのものではなく、その数学的な性質だけを借用してきたのである。
============================================================

そういうことか。。
現在の宇宙が「ドジッター宇宙」であることを使うのではなく、その数学的構造を「運動量空間」に当てはめたということなのでしょう。

スナイダーは



ではなく、



とし、5次元ミンコフスキー空間中の半径ηの擬球を考えます。
この擬球面上の座標を4元運動量ベクトルの要素、



とします。(ここで、a は「プランク長さ」)
時空演算子(この理論では時間 t も演算子となる)は、これも天下りですが、





となるようです。
時空演算子が普通の量子力学における角運動量に相当するような感じですね。

ここまで分かると交換関係を計算することができます。ここでは運動量と位置について計算してみましょう。

t と pt

普通の量子力学では、時間 t は演算子ではないので、交換関係を求めること自体がナンセンスなのですが、この理論では演算子になるので、この計算は有効です。

 







なので、



x と px









なので、



となります。
ここから類推すると、不確定性関係は



となるんでしょうか?(係数 1/2 は付くのか?)
『量子重力理論とはなにか』(竹内薫著・ブルーバックス)では ħ = 1 として、



と書いてありました。いずれにしても、a2 の項があるということが特徴的ですね。


あとは、サイクリックに考えて、


y と py



z と pz



となるでしょう。
この他に例えば x と py や、考え辛いのですが、x と y などがあります。
これについては後記事で計算する予定ですので、今日はこの辺で。。。


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