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zoom RSS そうか、等方座標だったな。。

<<   作成日時 : 2011/12/02 00:01   >>

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『量子重力理論とはなにか』(竹内薫著・ブルーバックス)をチラチラ読んでいますが、Schwarzschild 時空をデカルト座標で表せるとの記述があり、そうだったか?と疑問に思ってしまいましたが、これは「等方座標」で考えているだけで、自分でも記事を書いていたことを思い出しました。
そのことについて書いておきます。

『量子重力理論とはなにか』からの引用=======================
 具体例として静止したブラックホールの時空の不変量を書いてみよう。
 シュワルツシルト時空



       

 この式は発見者の名をとって「シュワルツシルト時空」と呼ばれている。M はブラックホールの質量である。通常極座標を使うが、このようにデカルト座標で書くこともできる(参考文献『Gravitation』の 658 ページなどをご覧ください)。
===============================================


この部分を読んで、「そういう書き方が出来るのだろうか?電話帳と呼ばれている『Gravitation』を入手するのもなぁ、、」と思っていましたが、良く思い出せば

「Schwarzschild 計量を書き換える」 http://teenaka.at.webry.info/200806/article_2.html

で自分で書いてました。
結論の式を引用すると、



です。(c = 1 、および Schwarzschild 半径を rs → a と書き換えています。)
さらに G = 1、とすると、a = 2M なので、



となり、



というように、極座標と対応する3次元ユークリッド座標を使うと、



のように同じ形になりました。
(EMAN さんの記事「光速度の変化」 http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/light_speed.html も参考にしてください。)

ただ、



という極座標表示の r と等方座標表示の χ とは次の関係があることに留意願います。

 

つまり、



なので、 Schwarzschild 半径から十分遠い外部では、r と χ は一致するということです。
この事に気が付かずに、『量子重力理論とはなにか』の記述を読んで、混乱していたのでした。。

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