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zoom RSS 等加速系の計量について

<<   作成日時 : 2011/11/03 00:01   >>

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等加速系というかリンドラー座標系の計量を考えてみます。
この系に乗っている観測者は疑似重力を感じるので、時空が歪んているように錯覚してしまいますね。慣性系をえらべば時空が歪んいないように見えますから、本質的には真直ぐな時空です。

まず、ひとつの加速度運動する世界線をパラメータ表示を、



考え、τ= 0 の点、つまり静止系(慣性系)で (x,ct) = (c2/α,0) を等加速系の原点と定義します。
ここは少し誤魔化しがあります。本当は「じゃあ、方程式を解いてみましょう。」で ξ = 0 と限定してしまったので、 (x,ct) = (0,0) を等加速系の原点としてしまうと、ちょっとまずいことがありまして、こうしています。

ここで、漸近線を共有する別の双曲線を考えましょう。



(一応、t=0 で、(A)よりx軸上で左側を出発し、漸近線を共有するため、(A)よりゆるい加速をする運動となります。そうしないと、慣性系から見て(B)-(A)間の距離がローレンツ収縮したように見えないからです。)

画像


この2つの曲線(A)(B)は漸近線を共有するため、同時刻線も共有します。
そして、共有同時刻線との交点間のミンコフスキー距離はいつも一定です。
よって、これを等加速系の空間座標Xとして良い訳です。

 
ここでは(A)-(B)間の共有同時刻線との交点間ミンコフスキー距離を X としましょう。
一番計算し易いのは t = 0 、つまりτA = τB = 0 の場合なので、



として良いわけです。
さらに、共有同時刻線との交点での速度は曲線(A)(B)で常に同じです(そうなるようにしているので)。よって、



となり、等加速系の時間座標 T として、原点を通る世界線の固有時τA を使ってよいことになります。
つまり、静止慣性系の座標 (x,t) と等加速系の一般座標(X,T)とは、



となります。

ここで、微分を考えると、





同様に、



となります。
これから ds2 (西海岸方式)を求めると、



となり、計量も出てきました。
これは、
「特殊相対論における2台の宇宙船のパラドックス」 http://homepage2.nifty.com/AXION/about/A_Paradox_of_Two_Space_Ships.pdf
の 5/6 ページの(6)式と同じものです。
(大文字と小文字の違いは特に重要ではなく、単なる表現の問題であり、y軸z軸は触れてませんが、これは静止慣性系と同じなので省略していることに留意願います。)



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