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zoom RSS ブラックホールの密度について(1)

<<   作成日時 : 2011/11/21 00:03   >>

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「もうひとつの一般相対論入門」(須藤靖、日本評論社)に「1.2.4 ブラックホールの密度」という項があります。
この話題どこかで聞いたなぁ〜って思ったら、ここで記事にしてまして、それを AXION さんに取り上げていただいてました。
ここはそれをおさらいしてから、須藤先生の「もうひとつの一般相対論入門」の内容を見ていきたいと思います。

まず、このブログでの関係ページは

 「気分を変えて、相対論(1)」http://teenaka.at.webry.info/200807/article_29.html
 「気分を変えて、相対論(2)」http://teenaka.at.webry.info/200807/article_30.html
 「気分を変えて、相対論(3)」http://teenaka.at.webry.info/200808/article_1.html

であり、 AXION さんのページは

 「閉じている宇宙とブラックホールは等価である」http://homepage2.nifty.com/AXION/note/2008/note_200808.html#01

です。

さて、「気分を変えて、相対論(1)〜(3)」では、東大大学院の中間試験を扱っています。いまはリンク切れなので、これらの記事内容から再構成すると、

=============================================================
前提:「一様な質量密度ρをもつ半径R、質量Mの球対称物体」を考える。

問(1.1) 条件:R=rs(シュワルツシルド半径)、M と R をρで書き下せ。

問(1.2) ρとして地球の大気密度を考えたときのBHの半径と質量を求めよ。 この大きさを太陽系の大きさ(約30AU≒45億km)と比べよ。

問(1.3) ρとして宇宙の密度を考えたときの BH の半径と質量を求めよ。この大きさを宇宙年齢約137億年に対応する観測可能な大きさと比べよ。

問(1.4) 以上の例から、BH 内部でに居住性について述べよ。
=============================================================

となります。
該当の pdf

http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~fujii/gr08_midexam.pdf

はリンク切れなんですが、

http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/

は、「東京大学 理学部 理学系研究科 物理学専攻 宇宙理論研究室」であり、教授は須藤靖先生です。
なので、出所は同じということですね。


今回は前置きだけにして、前提:「一様な質量密度ρをもつ半径R、質量 M の球対称物体」と問(1.1) について考えます。

半径R の球対称物体体積 V は、

 

なので、



となります。

問(1.1) 条件:R=rs ということは、



なので、




と書けます。これらと



から、R および M をρで表すと、 



となります。ここで



を使うと、



となりました。

注)ここではMKS単位を使っており、教科書ではcgs単位を使っているため、ルートがあると数値が違って見えますが、誤りではありません。
勉強のために、あえて計算し直しています。


今日はこの辺で。。



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