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zoom RSS 等加速系での自由粒子の運動方程式(1)

<<   作成日時 : 2011/11/16 00:01   >>

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これは自分なりの練習問題で、等加速系での測地線方程式を求めようということです。結果はある程度予想できます。まず、「ニュートン力学における変分法の一般化」について考えます。

[ニュートン力学における変分法の一般化]=====================================
・ニュートン力学では次の式から、自由粒子の運動方程式を導くことができる。



・一般相対論では上の関係を共変化する。



と置き換えて、

 

(ドットは d/dτを意味する)

とし、オイラー・ラグランジュ方程式



に代入すると測地線方程式が導出される。
========================================================================

では、本題の等加速系を考えましょう。
空間1次元に限定すると、「等加速系の計量について」http://teenaka.at.webry.info/201111/article_3.html から



なので、作用



と書け、



とすることができます。
ここで、



また、



なので、オイラー・ラグランジュ方程式から、





となります。

う〜む、どうも欲しい形になってくれませんね。。
この内容は再検討が必要なようですね。
次回で検討しましょう。今日はこの辺で。。





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コメント(8件)

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「ニュートン力学の変分法の一般化」に書いてある事柄って、何を参考にされました? できたら文献を教えてください。素粒子論、特に超ひも理論の世界で e=1 ゲージと呼ばれる手法なのですが、普通の相対論の教科書か何かに書いてあったのでしょうか?
あもん
2011/11/17 11:45
これは私がよく参考にする『一般相対論入門』(須藤靖著・日本評論社)http://www.nippyo.co.jp/book/2551.html の48ページに書いてあった内容です。ディラック本の「9. 測地線の停留性」というのも基本的には同じ内容だと思うのですが。。
T_NAKA
2011/11/17 12:03
そうですか。ありがとうございます。ディラックの教科書に書かれているような普通の測地線の求め方とは異なる方法ですよ。初等的な教科書で、もし詳しい説明なしに用いているのであれば、ちょっと…誠実さに欠ける気がします。学ぶものにとっては凄い混乱の元なので。
あもん
2011/11/17 17:29
どうも、ディラック本は∫dτの極値条件から、つまりフェルマーの原理と類似から停留性を論じているようです。しかし、作用を極小にする条件から測地線の方程式を求めるやり方は、先に上げた本以外でも例えば「時空の力学」http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/01/2/0111440.html や、竹内薫氏の著作にも載っていたと記憶しています。計量が分かっている場合クリストッフェル記号をいちいち求めるより簡単なので。。
T_NAKA
2011/11/17 18:32
情報ありがとうございます。まあそれらの本が計算テクニックとして紹介されているならいいんですが…。「一般相対論の粒子の作用」といった場合は -m∫dτ の方です。ここでの作用は束縛条件を別に必要とするため、作用だけで理論が語れていないのです。ゲージ固定された後の理論のようなものになっているのです。少し難しいですが…。
おおまかですが、等価性の背景をまとめておきました。↓
http://www.geocities.jp/amon009tm/memo/e1gauge.PNG
あもん
2011/11/17 21:35
詳しいご説明ありがとうございました。
たしかに「時空の力学」http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/01/2/0111440.html には、このラグランジアンを使うにあたって
「ただし、質量のある粒子の場合は、解を求めた後で固有時の条件: g_μν(dx^μ/dτ)(dx^ν/dτ) = -c^2 を課す(この本は東海岸方式)。光子のように質量のないときには、いわゆるヌル条件: g_μν(dx^μ/dτ)(dx^ν/dτ) = 0 を課す。」との記述がありました。
T_NAKA
2011/11/18 08:18
そうですか。その教科書は信頼できそうですね。そういった説明なしでe=1ゲージを用いるのはちょっと怖いです。読者を混乱の渦に陥れる危険性を持つ方法なので。私のpngによる説明、今読み返したらちょっとわかりにくいです。何かわからないことがあったら聞いてくださいね。ちなみにひも理論ではこれと同様なやり方で共形ゲージというのを採用したりします。ひも理論の数学がほとんど共形場の量子論(ビラソロ代数の理論)であるのはそのためです。
あもん
2011/11/18 10:52
ありがとうございます。遠慮なく質問させてこともあるかも知れません。そのときは宜しくお願いいたします。
T_NAKA
2011/11/18 11:59

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