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zoom RSS GPSの相対論的補正をもう一度検討する(2)

<<   作成日時 : 2011/11/11 00:01   >>

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では、一般相対論で考えてみることにします。当然のことですが、「時空の力学 ― 一般相対論の物理(岩波講座 物理の世界:素粒子と時空4)」(細谷暁夫著、岩波書店)も「もうひとつの一般相対論入門」(須藤靖、日本評論社)もシュワルツシルド計量を使って同じ理屈を示しています。まず、その理屈から、見ていきます。


シュワルツシルド計量(時空の力学では シュバルツシルド となっていて、"W" の発音を日本語で表すときに混乱します)を書いておきましょう。



左辺 ds = c dτ (固有時)を問題にするため西海岸方式で書いていることに留意願います。
ここで、シュワルツシルド半径:a ≡ 2GM/c2 を使うと、



と簡略化されます。
さて、今回の問題のように、衛星がある高度で円運動している場合は動径方向は変化しないので dr = 0 としてよいことと、その軌道面が一定なので、dθ = 0 とでき、簡単のために sinθ= 1 とすることができます。つまり、



ですね。衛星の水平速度を v とすると、



となり、



と座標時と固有時の比を計算できます。
ここで、記号を再定義しておきます。

 τE:地上観測点の固有時
 τG:衛星の固有時

 R:地球の半径(地上観測点の地球中心からの高度)
 r:衛星の地球中心からの高度

 V:地上観測点の水平速度
 v:衛星の水平速度

そうすると、



から、



なので、これから衛星の時計の遅れが計算できることになります。
具体的な計算は次回で実施しましょう。今日はこの辺で。。。


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