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zoom RSS GPSの相対論的補正をもう一度検討する(1)

<<   作成日時 : 2011/11/10 00:01   >>

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このブログでは「GPSの相対論的補正_備忘録」と「GPSの相対論的補正の数値を押さえておきたい」という記事を書いています。
これらの記事は「時空の力学 ― 一般相対論の物理(岩波講座 物理の世界:素粒子と時空4)」(細谷暁夫著、岩波書店)を参考にして書いていましたが、最近入手した「もうひとつの一般相対論入門」(須藤靖、日本評論社)にも同じ内容の記事があって、どうも数値が合いません。
そこで、じっくり検討し直してみようと思いました。

まず、本ブログの記事をリンクしておきます。

「GPSの相対論的補正_備忘録」http://teenaka.at.webry.info/200912/article_22.html
「GPSの相対論的補正の数値を押さえておきたい」http://teenaka.at.webry.info/200912/article_23.html 

さて、人口衛星の速度を求めてみたいのですが、「時空の力学 ― 一般相対論の物理(岩波講座 物理の世界:素粒子と時空4)」では

=======================================================
実際の GPS システムでは、12 時間で 1 周する円軌道の衛星を用いているので r = 26.6×106m であり、速度は 3.9×103m/s である。
=======================================================

との記述があり、「もうひとつの一般相対論入門」では

=======================================================
地球の質量と半径はそれぞれ



(中略)

GPS 衛星は高度 20,200km の軌道を周期 12 時間で公転している。したがって、


=======================================================

とあります。
よって、両者とも「@12 時間で 1 周する円軌道の衛星」「A r = 26.6×106m 」であることは同じです(まあ、当たり前ですが)。
(この記事では r :衛星軌道の半径 とします。 )
(天文学系の記述だと、m でなく cm 、kg でなく g で表すのでしょうか?どうも両者でこういう細かいところで違いがありますね。。)

ところで、この速度 3.9×103m/s というのはどうして出てきたのでしょう?

@ 12 時間で半径 r = 26.6×106m の円軌道 1 周するので、



A r = 26.6×106m のところで、遠心力と重力が釣り合っているので、

 

(G:重力定数、M:地球の質量、m:衛星の質量)

から、



となり、辻褄が合います。
つまり、「12 時間で 1 周する円軌道」とするため「r = 26.6×106m 」としたということですね。

さて、次に地球の赤道上の定点の動く速度を考えます。
(GPSを考えると電波受信者は地球上のどこに居るのか特定できないのですが、一番速い速度なので赤道上の定点をまず考えるということです。)
R:地球の半径 6.378×106 m を 24 時間で 1 周するので、



となります。


ここでは、特殊相対論的に考えてみます。
(次回で一般相対論で考えることにしますが、そのときの比較のために計算しておきましょう。)

地球の中心が停止して見える慣性系(実は太陽の周りを周っているので慣性系とは言えないんですが、)の時間を座標時 t としましょう。
ここで、τ:地球赤道上の定点の固有時、V:地球の赤道上の定点の動く速度、とすると、τの刻み dτは、



さらに、τG:衛星の固有時、v:衛星速度、とすると、τGの刻み dτGは、



です。比較すると



であり、



となります。つまり、1日=24 時間=24×3.6×103 秒なので、



だけ1日にずれることになります。
ただ、これは特殊相対論効果のみを考えているため、実際とは異なります。
次回でその修正をしようと思いますが、今日はこの辺で。。。







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