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zoom RSS 等加速度運動の方程式

<<   作成日時 : 2011/11/01 00:01   >>

なるほど(納得、参考になった、ヘー) ブログ気持玉 1 / トラックバック 0 / コメント 4

最近、場の量子論を進めるのが少し停滞しています。ちょっとモチベーションが下がったので、少しお休みをして相対論を考えてみます。
標題の方程式を「等加速度運動は面白い(5)」 http://teenaka.at.webry.info/200606/article_4.html で求めていますが、これもTexで書いておこうと思います。
『相対論の正しい間違え方』を参考にしています。

まず、加速度運動する前に、静止系から見て、速度uで等速運動しているロケットを考えます。

このロケットの船内時計の刻みを 儺 とします。
これを静止系の時計の刻み 冲 に換算すると、



です。

いま、ロケットは自分の時計で測って、儺 の間、加速度αで加速したとします。
この結果、速度が 况 だけ速度が上昇しました。



ですね。この結果を静止系で見て、冰 だけ速度が増加したとします。
そうすると、速度の加法則から、



となります。これを変形して、




となりますが、この両辺を 儺 で割ります。



ここで、左辺には(1)を右辺には(2)を代入すると、




となります。ここで 冲→0 のとき、



とすると、(4)式は、



となり、αについてまとめると、



という結果が得られました。
これは、"Hyperbolic motion (relativity)" http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_motion_%28relativity%29 にあるとおりです。

本当は「相対論的力学」の考え方のほうが簡単にこの方程式を導出できるかも知れませんが、この方法のほうが感覚的に納得し易いと感じています。

 

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コメント(4件)

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ローレンツ変換から速度の変換式が導けますが、その延長で加速度の変換式も導けます。
http://www.geocities.jp/amon009tm/memo/va-trans.png
これの少し特別な場合になってるんでしょうね。

経路積分の方法は場の量子論の中でも特に難しい分野です。相互作用表示の場の量子論を高校生が習うニュートン力学だとすると、経路積分の方法は解析力学みたいなもんです。ハイゼンベルグ表示にとどまって一般的な議論ができるので、近年では標準的みたいな扱いになっていますが、やはり抽象的ですね。
あもん
2011/11/01 16:32
あもんさん、コメントありがとうございます。
私が記事にしているのは、自分の時計で測って一様加速しているロケットをある慣性系から見た場合、そのロケットの世界線(軌跡)はどうなるか?ということです(リンドラー座標を狙っている訳です)。なので、ある加速度運動する質点が2つの慣性系でどう変換されるということとは少し異なると感じています。

経路積分ですが、テキストの例題を追っていて式の変形がどうも分からないところがあって、躓いているわけです。いままでは意味は良く分からないが式の変形が全然分からないということは無かったので。。
T_NAKA
2011/11/01 17:18
ちょっと考えてみてください。厳密には、加速しているロケットからしてみたら、自分の加速度は(運動学的には)0でしょう? 一方で、T_NAKA さんのおっしゃる α というのは、考えている瞬間ロケットと速度を同じくする慣性系からみたときのロケットの加速度と解することができます。ということで、T_NAKA さんの導いた式は私が書いた加速度の変換式において、V=dx/dt=u, d^2x'/dt'^2 =α とおいた式に等しいわけです。つまり T_NAKA さんがここでやっている計算は、加速度のローレンツ変換式の導出の特別な場合になってるでしょう、ということです。
あもん
2011/11/01 21:13
なるほど、理解できました。
V=dx/dt=u, d^2x/dt^2 =du/dt, d^2x'/dt'^2 =α とすると、
α =[{(1-u^2/c^2)^3/2}/{(1-u^2/c^2)^3}](du/dt)={(1-u^2/c^2)^-3/2}(du/dt)
ということですね。
どうも失礼しました。
T_NAKA
2011/11/02 07:26

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